(2.) Resolver, par série do Taylor,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais e pede para resolver por série de Taylor. Dados que vou usar (copiados do enunciado):
- Equação:
- Condições iniciais:
O que preciso obter: a solução
centrada em
(ou seja a série de Taylor em torno de
), e idealmente uma forma fechada que permita escrever ou somar essa série se for possível.
Passo 2
Vou procurar uma solução como série de potências centrada em zero. Isso significa assumir que existe uma sequência de coeficientes
tal que
Explico como obter as derivadas da série (isso é rotina para séries de Taylor):
As condições iniciais dão imediatamente os dois primeiros coeficientes da série:
Passo 3
Agora substituo as séries na equação diferencial. Para alinhar as potências de
escrevo cada soma com o mesmo expoente
.
Primeiro termo:
Segundo termo:
(nota: o termo
é zero, então posso começar em
). Terceiro termo:
onde usamos a convenção
.
Somando os três termos e exigindo que o coeficiente de cada
seja zero, obtemos a relação de recorrência
ou equivalentemente
Lembre que
e já conhecemos
.
Passo 4
Agora calculo os coeficientes sequencialmente usando a recorrência. Vou mostrar as contas bem passo-a-passo para você poder reproduzir na prova.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
(Se quiser, dá para continuar indefinidamente usando a mesma fórmula.)
Passo 5
Com os coeficientes encontrados, a série de Taylor inicia assim (mostrando termos até
):
Substituindo os valores:
Isso já é a solução por série de Taylor (série com coeficientes obtidos pela recorrência). Agora, para aprender a somar/simplificar essa série e ter uma forma fechada, vou mostrar um truque que transforma a equação em outra mais simples — isso nos ajuda a reconhecer a soma da série.
Passo 6
Procuro uma substituição que simplifique a equação. Experimente a transformação
Vou calcular
e
em termos de
(mostrando passo a passo):
Calculo o interior:
Somando,
Agora substituo
na equação original:
Fatorando
e agrupando termos:
Portanto a equação original reduz-se a
Ótimo: uma equação simples, a do oscilador harmônico — fácil de resolver.
Passo 7
A solução geral de
é
Voltando à
,
Agora uso as condições iniciais para determinar
.
Em
:
Para
uso a fórmula já obtida
. Em
isso dá
Como
, temos
. Portanto
. A condição
dá
Logo os constantes são
e a solução explícita é
Passo 8
Posso verificar rapidamente que a série de Taylor dessa solução fechada coincide com os coeficientes que calculei pela recorrência. Basta considerar as séries:
e multiplicá-las termo a termo; os primeiros coeficientes que resultam coincidem com
encontrados no passo da recorrência, o que confirma a consistência.