(2.) Resolver, par série do Taylor,
y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+x^{2} y=0, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais e pede para resolver por série de Taylor. Dados que vou usar (copiados do enunciado):
  • Equação: y^{\prime\prime}-2x\,y^{\prime}+x^{2}y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y^{\prime}(0)=-1.
O que preciso obter: a solução y(x) centrada em x=0 (ou seja a série de Taylor em torno de 0), e idealmente uma forma fechada que permita escrever ou somar essa série se for possível.

Passo 2

Vou procurar uma solução como série de potências centrada em zero. Isso significa assumir que existe uma sequência de coeficientes \{a_n\} tal que
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n.
Explico como obter as derivadas da série (isso é rotina para séries de Taylor):
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{\,n-1}, \qquad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{\,n-2}.
As condições iniciais dão imediatamente os dois primeiros coeficientes da série:
y(0)=a_0=1,\qquad y'(0)=a_1=-1.

Passo 3

Agora substituo as séries na equação diferencial. Para alinhar as potências de x escrevo cada soma com o mesmo expoente x^n.
Primeiro termo:
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}.
Segundo termo:
-2x\,y'(x)=-2\sum_{n=1}^{\infty}n a_n x^{n}=-2\sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n}
(nota: o termo n=0 é zero, então posso começar em n=0). Terceiro termo:
x^{2}y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+2}=\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n-2} x^{n},
onde usamos a convenção a_{-1}=a_{-2}=0.
Somando os três termos e exigindo que o coeficiente de cada x^{n} seja zero, obtemos a relação de recorrência
(n+2)(n+1)a_{n+2}-2n a_n + a_{n-2}=0,\qquad n=0,1,2,\dots
ou equivalentemente
\boxed{(n+2)(n+1)a_{n+2}=2n a_n - a_{n-2}.}
Lembre que a_{-1}=a_{-2}=0 e já conhecemos a_0=1,\;a_1=-1.

Passo 4

Agora calculo os coeficientes sequencialmente usando a recorrência. Vou mostrar as contas bem passo-a-passo para você poder reproduzir na prova.
  • Para n=0:
2\cdot1\cdot a_2 = 2\cdot0\cdot a_0 - a_{-2}=0-0=0 \quad\Rightarrow\quad a_2=0.
  • Para n=1:
3\cdot2\cdot a_3 = 2\cdot1\cdot a_1 - a_{-1}=2(-1)-0=-2 \quad\Rightarrow\quad 6 a_3=-2 \quad\Rightarrow\quad a_3=-\tfrac{1}{3}.
  • Para n=2:
4\cdot3\cdot a_4 = 2\cdot2\cdot a_2 - a_0 = 4\cdot0 -1 = -1 \quad\Rightarrow\quad 12 a_4 = -1 \quad\Rightarrow\quad a_4=-\tfrac{1}{12}.
  • Para n=3:
5\cdot4\cdot a_5 = 2\cdot3\cdot a_3 - a_1 = 6\Big(-\tfrac{1}{3}\Big) - (-1) = -2+1=-1
\Rightarrow\quad 20 a_5 = -1 \quad\Rightarrow\quad a_5=-\tfrac{1}{20}.
  • Para n=4:
6\cdot5\cdot a_6 = 2\cdot4\cdot a_4 - a_2 = 8\Big(-\tfrac{1}{12}\Big)-0 = -\tfrac{8}{12}=-\tfrac{2}{3}
\Rightarrow\quad 30 a_6 = -\tfrac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad a_6 = -\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{1}{30} = -\tfrac{1}{45}.
  • Para n=5:
7\cdot6\cdot a_7 = 2\cdot5\cdot a_5 - a_3 = 10\Big(-\tfrac{1}{20}\Big)-\Big(-\tfrac{1}{3}\Big) = -\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3} = -\tfrac{1}{6}
\Rightarrow\quad 42 a_7 = -\tfrac{1}{6} \quad\Rightarrow\quad a_7 = -\tfrac{1}{252}.
  • Para n=6:
8\cdot7\cdot a_8 = 2\cdot6\cdot a_6 - a_4 = 12\Big(-\tfrac{1}{45}\Big)-\Big(-\tfrac{1}{12}\Big) = -\tfrac{12}{45}+\tfrac{1}{12}
-\tfrac{12}{45}+\tfrac{1}{12} = -\tfrac{4}{15}+\tfrac{1}{12} = -\tfrac{16}{60}+\tfrac{5}{60} = -\tfrac{11}{60}
\Rightarrow\quad 56 a_8 = -\tfrac{11}{60} \quad\Rightarrow\quad a_8 = -\tfrac{11}{3360}.
(Se quiser, dá para continuar indefinidamente usando a mesma fórmula.)

Passo 5

Com os coeficientes encontrados, a série de Taylor inicia assim (mostrando termos até x^8):
y(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5 + a_6 x^6 + a_7 x^7 + a_8 x^8 + \cdots
Substituindo os valores:
y(x)=1 - x + 0\cdot x^2 -\tfrac{1}{3}x^3 -\tfrac{1}{12}x^4 -\tfrac{1}{20}x^5 -\tfrac{1}{45}x^6 -\tfrac{1}{252}x^7 -\tfrac{11}{3360}x^8 + \cdots
Isso já é a solução por série de Taylor (série com coeficientes obtidos pela recorrência). Agora, para aprender a somar/simplificar essa série e ter uma forma fechada, vou mostrar um truque que transforma a equação em outra mais simples — isso nos ajuda a reconhecer a soma da série.

Passo 6

Procuro uma substituição que simplifique a equação. Experimente a transformação
y(x)=e^{x^{2}/2} z(x).
Vou calcular y' e y'' em termos de z (mostrando passo a passo):
y' = \big(e^{x^{2}/2}\big)' z + e^{x^{2}/2} z' = e^{x^{2}/2}(x z + z') .
y'' = \big(e^{x^{2}/2}(x z + z')\big)' = e^{x^{2}/2}\big((x z + z')' + x(x z + z')\big).
Calculo o interior:
(x z + z')' = z + x z' + z'',\qquad x(x z + z') = x^{2} z + x z'.
Somando,
y'' = e^{x^{2}/2}\big(z'' + 2x z' + (x^{2}+1)z\big).
Agora substituo y, y', y'' na equação original:
y''-2x y' + x^{2} y = e^{x^{2}/2}\big(z'' + 2x z' + (x^{2}+1)z\big) -2x e^{x^{2}/2}(x z + z') + x^{2} e^{x^{2}/2} z.
Fatorando e^{x^{2}/2} e agrupando termos:
e^{x^{2}/2}\big(z'' + 2x z' + (x^{2}+1)z -2x^{2} z -2x z' + x^{2} z\big) = e^{x^{2}/2}\big(z'' + z\big).
Portanto a equação original reduz-se a
e^{x^{2}/2}\big(z'' + z\big)=0 \quad\Rightarrow\quad z''+z=0.
Ótimo: uma equação simples, a do oscilador harmônico — fácil de resolver.

Passo 7

A solução geral de \;z''+z=0\; é
z(x)=C_1\cos x + C_2\sin x.
Voltando à y,
y(x)=e^{x^{2}/2}\big(C_1\cos x + C_2\sin x\big).
Agora uso as condições iniciais para determinar C_1,C_2.
Em x=0:
y(0)=e^{0}(C_1\cdot1 + C_2\cdot0)=C_1=1.
Para y'(0) uso a fórmula já obtida y'=e^{x^{2}/2}(z'+ x z). Em x=0 isso dá
y'(0)=z'(0).
Como z'(x)=-C_1\sin x + C_2\cos x, temos z'(0)=C_2. Portanto y'(0)=C_2. A condição y'(0)=-1
C_2=-1.
Logo os constantes são C_1=1,\;C_2=-1 e a solução explícita é
\boxed{y(x)=e^{x^{2}/2}\big(\cos x - \sin x\big).}

Passo 8

Posso verificar rapidamente que a série de Taylor dessa solução fechada coincide com os coeficientes que calculei pela recorrência. Basta considerar as séries:
e^{x^{2}/2}=1+\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x^{4}}{8}+\tfrac{x^{6}}{48}+\cdots,
\cos x - \sin x = 1 - x -\tfrac{x^{2}}{2} + \tfrac{x^{3}}{6} + \tfrac{x^{4}}{24} - \tfrac{x^{5}}{120} - \cdots,
e multiplicá-las termo a termo; os primeiros coeficientes que resultam coincidem com
1,\; -1,\; 0,\; -\tfrac{1}{3},\; -\tfrac{1}{12},\; -\tfrac{1}{20},\ldots
encontrados no passo da recorrência, o que confirma a consistência.

Resposta

y(x)=e^{x^{2}/2}\big(\cos x - \sin x\big)

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