Nos Problemas 29-38, ache a solução geral do sistema dado.
d xd t=-x+3 y
d yd t=-3 x+5 y

Passo 1

O sistema dado é um sistema linear de EDOs de primeira ordem com coeficientes constantes, do tipo X'=A X, onde X=(x,y)^T. Vamos usar teoria de autovalores e autovetores (incluindo vetores generalizados) para obter a solução geral.

Passo 2

Escrevemos a matriz do sistema e calculamos o polinômio característico:
A=-1 & 3 -3 & 5,
det(A-lambda I)=(-1-lambda)(5-lambda)-(-9)=lambda^2-4lambda+4=(lambda-2)^2
Daí concluímos que há um autovalor lambda=2 de multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Agora encontramos o autovetor associado a lambda=2 resolvendo
(A-2I)v=0implies -3 & 3 -3 & 3 v1 v2= 00
Isso dá -3v1+3v2=0, ou seja v1=v2. Podemos escolher o autovetor
v1=11

Passo 4

Como o autovalor é duplo mas há apenas um autovetor, o sistema é degenerado e precisamos de um vetor generalizado w tal que
(A-2I)w=v1
Chamando w=(w1,w2)^T, isso significa
-3 & 3 -3 & 3 w1 w2= 11,
isto é -3w1+3w2=1 (uma única equação independente). Uma solução simples é
w=0 1/3

Passo 5

Pela teoria de sistemas degenerados, as duas soluções fundamentais são
X1(t)=e^2tv1,
X2(t)=e^2tl(tv1+wr)
Logo a solução geral é combinação linear
X(t)=C1e^2t11+C2e^2tl(t11+01/3r)

Passo 6

Para ficar mais legível em termos de x(t) e y(t), multiplicamos tudo:
x(t)=C1e^2t+C2e^2t(t+0)=C1e^2t+C2te^2t,
y(t)=C1e^2t+C2e^2t(t+1/3)=C1e^2t+C2te^2t+tfrac13C2e^2t
Podemos redefinir constantes (absorvendo 1/3 em C2) e escrever de forma equivalente.

Passo 7

A forma mais compacta da solução geral é
$$
\boxed{(x(t),y(t))=C_1e{2t}(1,1)+C_2e{2t}(1-3t,-3t),}$$
com boxed(x(t),y(t))=C1e^2t(1,1)+C2e^2t(1-3t,-3t), constantes arbitrárias.

Resposta

(x(t),y(t))=C_1e{2t}(1,1)+C_2e{2t}(1-3t,-3t), onde C_1 e C_2 são constantes.

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