Nos Problemas 29-38, ache a solução geral do sistema dado.
Passo 1
O sistema dado é um sistema linear de EDOs de primeira ordem com coeficientes constantes, do tipo
, onde
. Vamos usar teoria de autovalores e autovetores (incluindo vetores generalizados) para obter a solução geral.
Passo 2
Escrevemos a matriz do sistema e calculamos o polinômio característico:
Daí concluímos que há um autovalor
de multiplicidade algébrica 2.
Passo 3
Agora encontramos o autovetor associado a
resolvendo
Isso dá
, ou seja
. Podemos escolher o autovetor
Passo 4
Como o autovalor é duplo mas há apenas um autovetor, o sistema é degenerado e precisamos de um vetor generalizado
tal que
Chamando
, isso significa
isto é
(uma única equação independente). Uma solução simples é
Passo 5
Pela teoria de sistemas degenerados, as duas soluções fundamentais são
Logo a solução geral é combinação linear
Passo 6
Para ficar mais legível em termos de
e
, multiplicamos tudo:
Podemos redefinir constantes (absorvendo
em
) e escrever de forma equivalente.
Passo 7
A forma mais compacta da solução geral é
$$
\boxed{(x(t),y(t))=C_1e{2t}(1,1)+C_2e{2t}(1-3t,-3t),}$$
com constantes arbitrárias.
com
Resposta
(x(t),y(t))=C_1e{2t}(1,1)+C_2e{2t}(1-3t,-3t), onde C_1 e C_2 são constantes.