Seja
. (Não é necessário justificar):
é um campo conservativo em
?
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial F(x,y)=
em com
$$P(x,y)=\frac{y+x3+y2x}{x2+y2},\quad Q(x,y)=\frac{yx2+y3-x}{x2+y2}.
$$
A pergunta é se F é um campo conservativo nesse domínio. Vamos usar o teste do rotor e lembrar da questão da conectividade do domínio.
A pergunta é se F é um campo conservativo nesse domínio. Vamos usar o teste do rotor e lembrar da questão da conectividade do domínio.
Passo 2
Para simplificar o cálculo, reescrevemos P e Q como soma de duas partes: a parte “gradiente” e a parte singular. Observando que
e
, obtemos
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais para testar o rotor:
Como
em todo o domínio, o rotor de F é nulo.
Passo 4
Mesmo com rotor zero, o domínio não é simplesmente conexo, então não basta ter rotor zero para garantir um potencial global. Para ver que não existe potencial, avaliaremos a circulação em torno do círculo unitário:
parametrizando , temos
parametrizando
A parte
não contribui em circuito fechado, e a parte singular dá
Passo 5
Como a circulação em volta do buraco é diferente de zero, F não admite função potencial em todo o domínio. Portanto, apesar do rotor ser zero, F não é conservativo em .
Resposta
Não.