Seja F(x, y)=(y+x^3+y^2 xx^2+y^2, y x^2+y^3-xx^2+y^2). (Não é necessário justificar):
F é um campo conservativo em R^2-(0,0) ?

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y)= l(P(x,y),Q(x,y)r) em com
$$P(x,y)=\frac{y+x3+y2x}{x2+y2},\quad Q(x,y)=\frac{yx2+y3-x}{x2+y2}.
$$
A pergunta é se F é um campo conservativo nesse domínio. Vamos usar o teste do rotor e lembrar da questão da conectividade do domínio.

Passo 2

Para simplificar o cálculo, reescrevemos P e Q como soma de duas partes: a parte “gradiente” e a parte singular. Observando que x^3+y^2x=x(x^2+y^2) e yx^2+y^3=y(x^2+y^2), obtemos
P=x+yx^2+y^2, Q=y-xx^2+y^2

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais para testar o rotor:
partial Ppartial y=0+(x^2+y^2)-2y^2(x^2+y^2)^2=x^2-y^2(x^2+y^2)^2,
partial Qpartial x=0-(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2=x^2-y^2(x^2+y^2)^2
Como ∂P/∂y=∂Q/∂x em todo o domínio, o rotor de F é nulo.

Passo 4

Mesmo com rotor zero, o domínio não é simplesmente conexo, então não basta ter rotor zero para garantir um potencial global. Para ver que não existe potencial, avaliaremos a circulação em torno do círculo unitário:
parametrizando R^2setminus0, temos
x=cos t,y=sin t
A parte Fcdot d r=(x,y)cdot(-sin t,cos t),dt+(tfracyr^2,-tfracxr^2)cdot(-sin t,cos t),dt não contribui em circuito fechado, e a parte singular dá
(x,y)

Passo 5

Como a circulação em volta do buraco é diferente de zero, F não admite função potencial em todo o domínio. Portanto, apesar do rotor ser zero, F não é conservativo em .

Resposta

Não.

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