(2 pontos) Calcule
onde
é o caminho poligonal que começa em
e passa por
e
, nessa ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
onde $ C $ é um caminho poligonal que começa no ponto $ (1,0) $, passa por $ (1,1) $, depois por $ (-1,1) $ e termina em $ (-1,0) $. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha no plano, utilizando parametrizações de caminhos poligonais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho $ C $. Ele é formado por três segmentos:
- De $ (1,0) $ a $ (1,1) $
- De $ (1,1) $ a $ (-1,1) $
- De $ (-1,1) $ a $ (-1,0) $
Vamos calcular a integral em cada segmento separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Segmento 1: De $ (1,0) $ a $ (1,1) $
Aqui, $ x $ permanece constante em 1, e $ y $ varia de 0 a 1. Vamos parametrizar:
As derivadas são:
Substituindo na integral:
Passo 4
Segmento 2: De $ (1,1) $ a $ (-1,1) $
Aqui, $ y $ permanece constante em 1, e $ x $ varia de 1 a -1. Vamos parametrizar:
As derivadas são:
Substituindo na integral:
Passo 5
Segmento 3: De $ (-1,1) $ a $ (-1,0) $
Aqui, $ x $ permanece constante em -1, e $ y $ varia de 1 a 0. Vamos parametrizar:
As derivadas são:
Substituindo na integral:
Resposta
Somando as integrais de cada segmento:
Portanto, o valor da integral é 1.