(2 pontos) Calcule integralC(x-y) d x+x y d y onde C é o caminho poligonal que começa em (1,0) e passa por (1,1),(-1,1) e (-1,0), nessa ordem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
integralC(x - y) , dx + xy , dy
onde $ C $ é um caminho poligonal que começa no ponto $ (1,0) $, passa por $ (1,1) $, depois por $ (-1,1) $ e termina em $ (-1,0) $. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha no plano, utilizando parametrizações de caminhos poligonais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho $ C $. Ele é formado por três segmentos:
  1. De $ (1,0) $ a $ (1,1) $
  2. De $ (1,1) $ a $ (-1,1) $
  3. De $ (-1,1) $ a $ (-1,0) $
Vamos calcular a integral em cada segmento separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Segmento 1: De $ (1,0) $ a $ (1,1) $
Aqui, $ x $ permanece constante em 1, e $ y $ varia de 0 a 1. Vamos parametrizar:
(1,0)
As derivadas são:
(1,1)
Substituindo na integral:
x

Passo 4

Segmento 2: De $ (1,1) $ a $ (-1,1) $
Aqui, $ y $ permanece constante em 1, e $ x $ varia de 1 a -1. Vamos parametrizar:
(1,1)
As derivadas são:
(-1,1)
Substituindo na integral:
y

Passo 5

Segmento 3: De $ (-1,1) $ a $ (-1,0) $
Aqui, $ x $ permanece constante em -1, e $ y $ varia de 1 a 0. Vamos parametrizar:
(-1,1)
As derivadas são:
(-1,0)
Substituindo na integral:
x

Resposta

Somando as integrais de cada segmento:
12 + 0 + 12 = 1
Portanto, o valor da integral é 1.

Exercícios relacionados