NOME DO ALUNO: TURMA:
4. ( 2,0 pts) Usando (obrigatoriamente) o método de multiplicadores de Lagrange, determine os pontos sobre a curva x^4+y^4=1 que estão à maior distância e à menor distância do ponto (0,0). Obtenha as distancias máxima e mínima.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, usando multiplicadores de Lagrange, os pontos do conjunto definido por
x^4 + y^4 = 1
que ficam mais próximos e mais distantes da origem (0,0). O conteúdo aqui é otimização com restrição: definimos uma função objetivo (a distância ao quadrado até a origem) e uma função restrição. Vamos usar a condição nabla f = lambda,nabla g.

Passo 2

Definimos a função objetivo
f(x,y) = x^2 + y^2
e a restrição
g(x,y) = x^4 + y^4 - 1 = 0
Suas derivadas parciais são:
nabla f = (2x,,2y), nabla g = (4x^3,,4y^3)
A condição de Lagrange é
(2x,2y) = lambda,(4x^3,4y^3)

Passo 3

Dissecação da condição: das componentes obtemos
2x = 4lambda x^3, 2y = 4lambda y^3
Reescrevendo:
2x = 4lambda x^3 ;Rightarrow; xl(1 - 2lambda x^2r) = 0,
2y = 4lambda y^3 ;Rightarrow; yl(1 - 2lambda y^2r) = 0
Isso gera as seguintes situações a verificar separadamente:

Passo 4

Caso 1: algum dos componentes é zero.
  • Se x = 0, da restrição vem y^4 = 1 y = pm1. Pontos: (0,1) e (0,-1).
  • Se y = 0, da restrição vem x^4 = 1 x = pm1. Pontos: (1,0) e (-1,0).
    Em todos esses pontos o valor de f é
f = x^2 + y^2 = 1,
logo a distância à origem é raiz f = 1.

Passo 5

Caso 2: x neq 0 e y neq 0. Então dos dois fatores não nulos decorre:
1 - 2lambda x^2 = 0 ;Rightarrow; lambda = 12x^2,
1 - 2lambda y^2 = 0 ;Rightarrow; lambda = 12y^2
Igualando essas expressões de lambda
12x^2 = 12y^2 ;Rightarrow; x^2 = y^2 ;Rightarrow; y = pm x
Substituindo em x^4 + y^4 = 1:
2x^4 = 1 ;Rightarrow; x^4 = 12 ;Rightarrow; x^2 = 2^-1/2 ;Rightarrow; x = pm 2^-1/4
Então os pontos são
l(pm 2^-1/4,,pm 2^-1/4r)
com os sinais independentes (total de 4 pontos).

Passo 6

Agora avaliamos f nesses pontos diagonais:
f = x^2 + y^2 = 2,2^-1/2 = 2^1-1/2 = 2^1/2 = raiz2
A distância é
raiz f = raizraiz2 = 2^1/4 approx 1,19
Comparando com os pontos da Caso 1, onde a distância era 1, vemos que:
  • A menor distância é 1, nos pontos (pm1,0) e (0,pm1).
  • A maior distância é 2^1/4, nos pontos (pm2^-1/4,,pm2^-1/4).

Resposta

Pontos de mínima distância: (±1,0) e (0,±1), distância mínima = 1. Pontos de máxima distância: (±2^{-1/4}, ±2^{-1/4}), distância máxima = 2^{1/4}.

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