NOME DO ALUNO: TURMA:
4. (
) Usando (obrigatoriamente) o método de multiplicadores de Lagrange, determine os pontos sobre a curva
que estão à maior distância e à menor distância do ponto
. Obtenha as distancias máxima e mínima.
4. (
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, usando multiplicadores de Lagrange, os pontos do conjunto definido por
que ficam mais próximos e mais distantes da origem
. O conteúdo aqui é otimização com restrição: definimos uma função objetivo (a distância ao quadrado até a origem) e uma função restrição. Vamos usar a condição
.
Passo 2
Definimos a função objetivo
e a restrição
Suas derivadas parciais são:
A condição de Lagrange é
Passo 3
Dissecação da condição: das componentes obtemos
Reescrevendo:
Isso gera as seguintes situações a verificar separadamente:
Passo 4
Caso 1: algum dos componentes é zero.
- Se
, da restrição vem → . Pontos: e . - Se
, da restrição vem → . Pontos: e .
Em todos esses pontos o valor deé
logo a distância à origem é
.
Passo 5
Caso 2:
e
. Então dos dois fatores não nulos decorre:
Igualando essas expressões de
dá
Substituindo em
:
Então os pontos são
com os sinais independentes (total de 4 pontos).
Passo 6
Agora avaliamos
nesses pontos diagonais:
A distância é
Comparando com os pontos da Caso 1, onde a distância era 1, vemos que:
- A menor distância é 1, nos pontos
e . - A maior distância é
, nos pontos .
Resposta
Pontos de mínima distância: (±1,0) e (0,±1), distância mínima = 1. Pontos de máxima distância: (±2^{-1/4}, ±2^{-1/4}), distância máxima = 2^{1/4}.