(1,0 ponto) Calcule
e o vetor tangente à curva no instante
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular
. - Encontrar o vetor tangente à curva no instante
.
Informações dadas:
- A curva (função vetorial) é
. - O ponto de interesse é
.
Nada mais é pedido.
Passo 2
Entendendo o que significa calcular o limite de uma função vetorial: o limite de um vetor cujas componentes são funções é feito componente a componente. Ou seja, para
temos
desde que ambos os limites componentes existam. Vou aplicar isso ao nosso caso.
Passo 3
Aplicando a regra componente a componente ao nosso vetor:
Agora uso que
e
são funções contínuas (isto é, o limite da função no ponto é o valor da função no ponto). Portanto
Passo 4
Calculo explícito dos valores bem básicos (lembre que
e
):
Substituindo na expressão do limite:
Passo 5
Agora vamos ao vetor tangente. Para uma curva parametrizada por
o vetor tangente (um representante natural do vetor tangente) é o vetor derivada
que é a derivada componente a componente. Intuitivamente,
dá a direção e sentido da trajetória quando o parâmetro varia — é o limite do quociente incremental
quando
.
Passo 6
Aplicando isso à nossa curva
: as derivadas das componentes são
Logo
Passo 7
Para obter o vetor tangente no instante
avaliamos
em
:
Usando
e
obtemos
Passo 8
Observação final útil para prova: às vezes pedem o vetor tangente unitário (o versor tangente). Para isso normalizamos
. O comprimento (norma) de
é
portanto o vetor tangente unitário em
é o mesmo
. Se o problema só pede “o vetor tangente”,
é a resposta natural.