(1,0 ponto) Calcule
\lim _{t \rightarrow \pi}(\sin (t), \cos (t))
e o vetor tangente à curva no instante t=\pi.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular \displaystyle \lim_{t\to\pi}(\sin(t),\cos(t)).
  2. Encontrar o vetor tangente à curva no instante t=\pi.
Informações dadas:
  • A curva (função vetorial) é \;r(t) = (\sin(t),\cos(t))\;.
  • O ponto de interesse é t=\pi.
    Nada mais é pedido.

Passo 2

Entendendo o que significa calcular o limite de uma função vetorial: o limite de um vetor cujas componentes são funções é feito componente a componente. Ou seja, para
r(t) = (x(t),y(t))
temos
\lim_{t\to a} r(t) = \Big(\lim_{t\to a} x(t),\; \lim_{t\to a} y(t)\Big),
desde que ambos os limites componentes existam. Vou aplicar isso ao nosso caso.

Passo 3

Aplicando a regra componente a componente ao nosso vetor:
\lim_{t\to\pi}(\sin(t),\cos(t)) = \Big(\lim_{t\to\pi}\sin(t),\;\lim_{t\to\pi}\cos(t)\Big).
Agora uso que \sin e \cos são funções contínuas (isto é, o limite da função no ponto é o valor da função no ponto). Portanto
\lim_{t\to\pi}\sin(t)=\sin(\pi) \qquad\text{e}\qquad \lim_{t\to\pi}\cos(t)=\cos(\pi).

Passo 4

Calculo explícito dos valores bem básicos (lembre que \sin(\pi)=0 e \cos(\pi)=-1):
\sin(\pi)=0,\qquad \cos(\pi)=-1.
Substituindo na expressão do limite:
\lim_{t\to\pi}(\sin(t),\cos(t)) = (0,-1).

Passo 5

Agora vamos ao vetor tangente. Para uma curva parametrizada por
r(t) = (x(t),y(t)),
o vetor tangente (um representante natural do vetor tangente) é o vetor derivada
r'(t) = \Big(x'(t),y'(t)\Big),
que é a derivada componente a componente. Intuitivamente, r'(t) dá a direção e sentido da trajetória quando o parâmetro varia — é o limite do quociente incremental \dfrac{r(t+\Delta t)-r(t)}{\Delta t} quando \Delta t\to 0.

Passo 6

Aplicando isso à nossa curva \;r(t)=(\sin(t),\cos(t))\;: as derivadas das componentes são
\frac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t), \qquad \frac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t).
Logo
r'(t) = (\cos(t), -\sin(t)).

Passo 7

Para obter o vetor tangente no instante t=\pi avaliamos r'(t) em t=\pi:
r'(\pi) = (\cos(\pi), -\sin(\pi)).
Usando \cos(\pi)=-1 e \sin(\pi)=0 obtemos
r'(\pi) = (-1,0).

Passo 8

Observação final útil para prova: às vezes pedem o vetor tangente unitário (o versor tangente). Para isso normalizamos r'(\pi). O comprimento (norma) de r'(\pi) é
\|r'(\pi)\| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1,
portanto o vetor tangente unitário em t=\pi é o mesmo (-1,0). Se o problema só pede “o vetor tangente”, r'(\pi)=(-1,0) é a resposta natural.

Resposta

(0,-1)\n (-1,0)

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