com 0\le t\le \frac{\pi}{2}, e pede o comprimento dessa curva no intervalo indicado.
Informações relevantes que temos: x(t)=\cos^{2}(t), y(t)=\sin^{2}(t), z(t)=3 e o intervalo de parâmetro t é \left[0,\frac{\pi}{2}\right]. A pergunta é: qual é o comprimento da curva \vec{r}(t) para t nesse intervalo?
Passo 2
Vou lembrar a fórmula que usamos para comprimento de curva paramétrica. Se \vec{r}(t) é uma curva diferenciável em [a,b], o comprimento L é
L=\int_{a}^{b}\left\|\vec{r}\,'(t)\right\|\,dt.
Aqui \vec{r}\,'(t) é a derivada vetorial (velocidade) e \left\|\vec{r}\,'(t)\right\| é o módulo (velocidade escalar). Explico: \vec{r}\,'(t) tem componentes (x'(t),y'(t),z'(t)) e
Explico o valor absoluto: |\sin(2t)| aparece porque \sqrt{\sin^{2}(2t)}=|\sin(2t)|. No nosso intervalo t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] temos 2t\in[0,\pi], e em [0,\pi] a função \sin é não-negativa. Logo |\sin(2t)|=\sin(2t) nesse intervalo. Assim podemos usar
Vou calcular a integral \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2t)\,dt. Uma primitiva de \sin(2t) é -\tfrac{1}{2}\cos(2t), porque a derivada de \cos(2t) é -2\sin(2t).