(2,0 pontos) Encontre o comprimento da curva
\vec{r}(t)=\left(\cos ^{2}(t), \sin ^{2}(t), 3\right), \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} .

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\vec{r}(t)=\left(\cos^{2}(t),\;\sin^{2}(t),\;3\right),
com 0\le t\le \frac{\pi}{2}, e pede o comprimento dessa curva no intervalo indicado.
Informações relevantes que temos: x(t)=\cos^{2}(t), y(t)=\sin^{2}(t), z(t)=3 e o intervalo de parâmetro t é \left[0,\frac{\pi}{2}\right]. A pergunta é: qual é o comprimento da curva \vec{r}(t) para t nesse intervalo?

Passo 2

Vou lembrar a fórmula que usamos para comprimento de curva paramétrica. Se \vec{r}(t) é uma curva diferenciável em [a,b], o comprimento L é
L=\int_{a}^{b}\left\|\vec{r}\,'(t)\right\|\,dt.
Aqui \vec{r}\,'(t) é a derivada vetorial (velocidade) e \left\|\vec{r}\,'(t)\right\| é o módulo (velocidade escalar). Explico: \vec{r}\,'(t) tem componentes (x'(t),y'(t),z'(t)) e
\left\|\vec{r}\,'(t)\right\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}.
Vamos aplicar isso ao nosso \vec{r}(t).

Passo 3

Calcular as derivadas das componentes (uso a regra da cadeia para funções elevadas ao quadrado):
Derivada de x(t)=\cos^{2}(t):
x'(t)=\frac{d}{dt}\big(\cos^{2}(t)\big)=2\cos(t)\cdot\frac{d}{dt}\cos(t)=2\cos(t)\cdot(-\sin(t))=-2\cos(t)\sin(t).
Derivada de y(t)=\sin^{2}(t):
y'(t)=\frac{d}{dt}\big(\sin^{2}(t)\big)=2\sin(t)\cdot\frac{d}{dt}\sin(t)=2\sin(t)\cos(t).
Derivada de z(t)=3 (constante):
z'(t)=0.
Portanto
\vec{r}\,'(t)=\big(-2\cos(t)\sin(t),\;2\sin(t)\cos(t),\;0\big).

Passo 4

Simplifico usando a identidade trigonométrica \sin(2t)=2\sin(t)\cos(t). Assim
-2\cos(t)\sin(t)=-\sin(2t),\qquad 2\sin(t)\cos(t)=\sin(2t),
e portanto
\vec{r}\,'(t)=\big(-\sin(2t),\;\sin(2t),\;0\big).

Passo 5

Agora o módulo da velocidade:
\left\|\vec{r}\,'(t)\right\|=\sqrt{(-\sin(2t))^{2}+(\sin(2t))^{2}+0^{2}}=\sqrt{2\sin^{2}(2t)}=\sqrt{2}\,|\sin(2t)|.
Explico o valor absoluto: |\sin(2t)| aparece porque \sqrt{\sin^{2}(2t)}=|\sin(2t)|. No nosso intervalo t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] temos 2t\in[0,\pi], e em [0,\pi] a função \sin é não-negativa. Logo |\sin(2t)|=\sin(2t) nesse intervalo. Assim podemos usar
\left\|\vec{r}\,'(t)\right\|=\sqrt{2}\,\sin(2t),\qquad 0\le t\le\frac{\pi}{2}.

Passo 6

Agora aplico a fórmula do comprimento:
L=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left\|\vec{r}\,'(t)\right\|\,dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2}\,\sin(2t)\,dt=\sqrt{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2t)\,dt.
Vou calcular a integral \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2t)\,dt. Uma primitiva de \sin(2t) é -\tfrac{1}{2}\cos(2t), porque a derivada de \cos(2t) é -2\sin(2t).

Passo 7

Avalio a integral definida:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2t)\,dt=\left[-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-\tfrac{1}{2}\big(\cos(\pi)-\cos(0)\big).
Como \cos(\pi)=-1 e \cos(0)=1, temos
-\tfrac{1}{2}\big(-1-1\big)=-\tfrac{1}{2}(-2)=1.
Portanto a integral vale 1.

Passo 8

Substituindo de volta:
L=\sqrt{2}\cdot 1=\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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