(2 pontos) Calcule os limites abaixo, justificando todos os passos.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
O conteúdo aqui é limite de produto entre polinômio e exponencial. Sabemos que, quando
, o termo
tende a zero muito mais rápido do que
tende ao infinito, mas vamos justificar isso formalmente usando a regra de L\’Hospital.
Passo 2
Reescrevemos a expressão como quociente para aplicar L’Hospital:
Quando
, temos
e
, configurando uma forma indeterminada
. Podemos, portanto, aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
Aplicando L’Hospital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
- Numerador:
. - Denominador:
.
O limite vira
Ainda é a forma
, pois
e
.
Passo 4
Aplicamos L’Hospital pela segunda vez:
- Numerador:
. - Denominador:
.
O limite passa a ser
Passo 5
Para
, o expoente
, logo
. Assim
Logo o limite procurado é zero.