(2 pontos) Calcule os limites abaixo, justificando todos os passos.
lim x -infty x^2 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -infty x^2e^2x
O conteúdo aqui é limite de produto entre polinômio e exponencial. Sabemos que, quando xto -infty, o termo e^2x tende a zero muito mais rápido do que x^2 tende ao infinito, mas vamos justificar isso formalmente usando a regra de L\’Hospital.

Passo 2

Reescrevemos a expressão como quociente para aplicar L’Hospital:
x^2e^2x =x^2e^-2x
Quando xto -infty, temos x^2to +infty e e^-2xto +infty, configurando uma forma indeterminada +infty+infty. Podemos, portanto, aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Aplicando L’Hospital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
  • Numerador: dfracddx[x^2]=2x.
  • Denominador: dfracddx[e^-2x]=-2e^-2x.
    O limite vira
limxto -infty2x-2e^-2x =limxto -infty-xe^-2x
Ainda é a forma +infty+infty, pois -xto+infty e e^-2xto+infty.

Passo 4

Aplicamos L’Hospital pela segunda vez:
  • Numerador: dfracddx[-x]=-1.
  • Denominador: dfracddx[e^-2x]=-2e^-2x.
    O limite passa a ser
limxto -infty-1-2e^-2x =limxto -infty12e^-2x

Passo 5

Para xto -infty, o expoente -2xto+infty, logo e^-2xto+infty. Assim
12e^-2xto 0
Logo o limite procurado é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados