3- Sabendo que |u|=8,|v|=5, e que o ângulo entre u e v é 60^circ, calcule:
a) O ângulo entre u+v e u-v
b) |2 u+3 v|

Passo 1

O enunciado nos dá |u|=8, |v|=5 e o ângulo entre u e v igual a 60^circ. Pedem:
a) o ângulo entre u+v e u-v;
b) |2u+3v|.
Vamos usar produto escalar, normas e a relação entre produto escalar e cosseno de ângulo.

Passo 2

Calcular o produto escalar lang<= u,vrang<= via
lang<= u,vrang<= = |u|;|v|;cos(60^circ) = 8cdot5cdottfrac12 =20

Passo 3

Determinar lang<= u+v,,u-vrang<= usando distributividade:
lang<= u+v,,u-vrang<= = lang<= u,urang<= - lang<= u,vrang<= + lang<= v,urang<= - lang<= v,vrang<= = |u|^2 - |v|^2 =64 -25 =39

Passo 4

Calcular as normas de u+v e u-v por
|upm v|^2 = |u|^2 + |v|^2 pm 2,lang<= u,vrang<=
Logo,
|u+v|^2 =64+25+2cdot20=129, |u-v|^2 =64+25-2cdot20=49,
logo
|u+v|=raiz129, |u-v|=7

Passo 5

O cosseno do ângulo phi entre u+v e u-v é
cos(phi) =lang<= u+v,,u-vrang<=|u+v|;|u-v| =397raiz129
Assim
phi = arccosl(tfrac397raiz129r)

Passo 6

Para |2u+3v|, calculemos
|2u+3v|^2 =4|u|^2+9|v|^2+12,lang<= u,vrang<= =4cdot64+9cdot25+12cdot20 =256+225+240=721
Logo
|2u+3v|=raiz721

Resposta

(a) phi = arccos!l(tfrac397raiz129r)
(b) |2u+3v| = raiz721

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