(2 pontos) Considere a curva de equação x^2+x y+y^2=1.
(a) Calcule d y / d x.
(b) Determine todos os pontos na curva que tem reta tangente horizontal.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita de equação
x^2+x,y+y^2=1
e pede duas coisas:
– (a) encontrar dydx usando diferenciação implícita;
– (b) achar os pontos onde a reta tangente é horizontal (isto é, onde dydx=0).

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados de
x^2+x,y+y^2=1
em relação a x. Aplicando a regra do produto em x,y e lembrando que y depende de x, obtemos
ddx(x^2) + ddx(x,y) + ddx(y^2) = ddx(1)
2x + l(xdydx + ycdot1r) + 2ydydx = 0

Passo 3

Agrupando os termos com dydx e isolando, fica
xdydx + 2ydydx + 2x + y = 0 Longrightarrow (x+2y)dydx = -,(2x+y)
Logo, dydx = -2x+y,x+2y,

Passo 4

Para reta tangente horizontal precisamos de
dydx=0 Longrightarrow -(2x+y)=0 Longrightarrow y=-2x
Substituímos y=-2x na equação da curva:
x^2 + x(-2x) + (-2x)^2 = 1 Longrightarrow x^2 -2x^2 +4x^2=1 Longrightarrow 3x^2=1 Longrightarrow x=pm1raiz3
Então
y=-2x = mp2raiz3

Resposta

(a) dydx = -2x+y,x+2y,
(b) Os pontos com tangente horizontal são
l(tfrac1raiz3,-tfrac2raiz3r) e
l(-tfrac1raiz3,tfrac2raiz3r).

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