(2 Pontos) Calcule os limites, caso existam (caso não exista o limite, prove a sua não existência).
(1 Ponto) lim (x, y) (0,0) x^4-x^4 y^4x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) x^4-x^4y^4x^2+y^2
Trata-se de um limite de função de duas variáveis em (0,0). Uma forma bastante direta é usar coordenadas polares, pois aí veremos como a expressão depende do raio r e ficará mais simples analisar o comportamento quando rto0.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, r>=0
Substituindo na expressão dada, obtemos
x^4-x^4y^4x^2+y^2 = (rcostheta)^4l[1-(rsintheta)^4r]r^2 = r^2,cos^4theta;l(1-r^4sin^4thetar)

Passo 3

Agora, ao fazermos rto0:
  • r^2to0,
  • cos^4theta permanece limitado entre 0 e 1,
  • 1-r^4sin^4thetato1.
    Logo
r^2,cos^4theta;l(1-r^4sin^4thetar) ;longrightarrow;0(rto0),
independente de theta. Pelo critério em coordenadas polares, o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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