A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por
T(x, y, z)=200 e^-x^2-3 y^2-9 z^2
onde T é medido em ^circ C e x, y, z em metros.
a) (1 Ponto) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P=(2,1,-2) em direção ao ponto Q=(3,-3,3)
b) (1 Ponto) Qual a direção de maior crescimento da temperatura em P ?
b) Ponto) Encontre a taxa màxima de crescimento em P.

Passo 1

O enunciado dá a temperatura
T(x,y,z)=200,e^-x^2-3y^2-9z^2
e pede
  1. a taxa de variação de T em P=(2,1,-2) na direção de Q=(3,-3,3),
  2. a direção de maior crescimento em P,
  3. a taxa máxima de crescimento em P.
    O conteúdo que vamos usar é o gradiente de T e a derivada direcional.

Passo 2

Calculemos o gradiente nabla T. Como
T(x,y,z)=200,e^-x^2-3y^2-9z^2,
pelo efeito cadeia temos
partial Tpartial x =200,e^-x^2-3y^2-9z^2cdot(-2x) =-400x,e^-x^2-3y^2-9z^2,
partial Tpartial y =200,e^-x^2-3y^2-9z^2cdot(-6y) =-1200y,e^-x^2-3y^2-9z^2,
partial Tpartial z =200,e^-x^2-3y^2-9z^2cdot(-18z) =-3600z,e^-x^2-3y^2-9z^2
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boxednabla T(x,y,z)=l(-400x,,-1200y,,-3600zr),e^-x^2-3y^2-9z^2

Passo 3

Agora avaliamos nabla T em P=(2,1,-2). Primeiro o expoente é
-x^2-3y^2-9z^2|(2,1,-2)=-(4+3+36)=-43,
então
nabla T(2,1,-2) =l(-400cdot2,,-1200cdot1,,-3600cdot(-2)r),e^-43 =l(-800,,-1200,,7200r),e^-43
Para a direção de P a Q usamos o vetor
PQ=(3-2,,-3-1,,3-(-2))=(1,,-4,,5),
com norma |PQ|=raiz1^2+(-4)^2+5^2=raiz42.
O vetor unitário é
u=1raiz42(1,-4,5).
A derivada direcional é
DuT(2,1,-2) =nabla T(2,1,-2)cdot u =1raiz42l(-800cdot1+(-1200)(-4)+7200cdot5r)e^-43 =40000raiz42,e^-43

Passo 4

A direção de maior crescimento em P é a direção de nabla T(2,1,-2). Podemos dar o versor
nabla T(2,1,-2)|nabla T(2,1,-2)| =(-800,-1200,7200)raiz(-800)^2+(-1200)^2+7200^2 =(-2,-3,18)raiz337

Passo 5

A taxa máxima de crescimento em P é o módulo de nabla T(2,1,-2):
|nabla T(2,1,-2)| =raiz(-800)^2+(-1200)^2+7200^2;e^-43 =400raiz337;e^-43

Resposta

a) DuT(2,1,-2)=40000raiz42,e^-43
b) A direção de maior crescimento em P é o versor
(-2,-3,18)raiz337.
c) A taxa máxima de crescimento em P é
400raiz337;e^-43

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