(2 pontos) Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-3 x-4}{x-4}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 3x - 4}{x - 4}.
Este é um problema de limites em que, ao substituir x=4 diretamente, surge uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos recorrer à fatoração de polinômio.

Passo 2

Verificamos a substituição direta:
\frac{4^2 - 3\cdot4 - 4}{4 - 4} =\frac{16 - 12 - 4}{0} =\frac{0}{0},
logo há indeterminação e precisamos simplificar antes de fazer o limite.

Passo 3

Fatoramos o numerador x^2 - 3x - 4. Buscamos raízes da equação
x^2 - 3x - 4 = 0
cuja solução é
x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} =\frac{3 \pm 5}{2},
isto é, x=4 ou x=-1. Por isso
x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1).

Passo 4

Substituindo na fração original e cancelando o fator comum x - 4, obtemos para x \neq 4:
\frac{x^2 - 3x - 4}{x - 4} =\frac{(x - 4)(x + 1)}{x - 4} =x + 1.

Passo 5

Agora que a expressão simplificada é x + 1, o limite quando x\to 4 fica imediato:
\lim_{x \to 4}(x + 1) =4 + 1 =5.

Resposta

5

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