(6 pontos) Calcule a massa do fio gamma(t)=(cos t, sen t, t), 0 <= t <= pi cuja densidade linear é de<a(x, y, z)=x+y+z.

Passo 1

O enunciado pede a massa de um fio paramétrico gamma(t)=(cos t,sin t,t), 0<= t<= pi, cuja densidade linear em cada ponto (x,y,z) é de<a(x,y,z)=x+y+z. Vamos usar a fórmula da integral de linha escalar:
m=integralgamma de<a(x,y,z),ds

Passo 2

Primeiro, substituímos na densidade e calculamos a velocidade da curva. Temos
de<a(gamma(t))=cos t+sin t+t
e
gamma'(t)=(-sin t,cos t,1),
portanto
|gamma'(t)| =raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1^2 =raiz2

Passo 3

Assim, a massa do fio fica
m =integral0^pide<a(gamma(t)),|gamma'(t)|,dt =raiz2integral0^pil(cos t+sin t+tr),dt

Passo 4

Vamos avaliar
integral0^pil(cos t+sin t+tr),dt =l[sin t-cos t+tfract^22r]0^pi =2+pi^22

Resposta

Portanto, a massa do fio é
m =raiz2l(2+tfracpi^22r) =4+pi^2raiz2

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