Questão 2 ( 1 pt) Encontre y^prime, a derivada da função implícita, dada pela equação
e determine a reta tangente no ponto (0,1).
x e^y=y-1,

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x e^y = y - 1
e pede ( 1) a derivada y'=dydx usando diferenciação implícita e ( 2) a reta tangente no ponto (0,1). Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar ambos os lados em relação a x.

Passo 2

Derivando em relação a x a expressão
x e^y = y - 1,
temos, à esquerda, pela regra do produto e da cadeia,
ddxl(x e^yr) = 1cdot e^y + xcdot e^y,dydx = e^y + x e^yy',
e, à direita,
ddx(y - 1) = y'

Passo 3

Igualando as derivadas,
e^y + x e^yy' = y'
Isolando y', colocamos todos os termos com y' num lado:
e^y = y' - x e^yy' = y',(1 - x e^y)
Logo,
y' = e^y1 - x e^y

Passo 4

No ponto (0,1) temos x=0 e y=1, então
y'l|(0,1) = e^11 - 0cdot e^1 = e
A reta tangente com coeficiente angular m=e que passa por (0,1) é
y - 1 = e,(x - 0),
ou seja
y = e,x + 1

Resposta

y' = e^y1 - x e^y
Reta tangente em (0,1): \quad y = e \cdot x + 1.

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