Question 05. O valor R=lim x 0 2^2 x-4 cdot 2^x+32^x-1 é:
a) -1 ; b) -2 , c) infty; d) 0 ; e) 1 ; f) -3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
R = limx to 0 2^2x - 4 cdot 2^x + 32^x - 1
O tipo de indeterminação é 0/0 pois quando xto0, 2^2xto1, 2^xto1 e portanto o numerador e o denominador tendem a zero. Para resolver vamos usar a Regra de L’Hôpital, que exige calcular as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 2

Verificamos o valor no numerador e no denominador em x=0:
2^2cdot0-4cdot2^0+3 = 1 - 4 + 3 = 0, 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0
Confirmamos a forma 0/0, então aplicamos L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos a derivada do numerador
N(x) = 2^2x - 4cdot 2^x + 3
Usando ddx2^kx = 2^kx,kln 2, temos
N'(x) = 2^2xcdot(2ln 2);-;4cdot2^xcdot(ln 2);+;0

Passo 4

Calculamos a derivada do denominador
D(x) = 2^x - 1
e usando ddx2^x = 2^xln 2 obtemos
D'(x) = 2^xln 2

Passo 5

Aplicamos L’Hôpital:
R = limxto0 N(x)D(x) = limxto0 N'(x)D'(x) = N'(0)D'(0)

Passo 6

Avaliam-se N'(0) e D'(0):
N'(0) = 2^0cdot(2ln 2) - 4cdot2^0cdot(ln 2) = 2ln 2 - 4ln 2 = -2ln 2,
D'(0) = 2^0ln 2 = ln 2
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R = -2ln 2ln 2 = -2

Resposta

b) -2

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