(1) (2,0 pontos) (a) Calcule o momento de dipolo magnético de um disco de carga Q e raio R que gira com freqüência angular constante \omega em torno de seu eixo.
(b) Utilize o resultado anterior para calcular o dipolo magnético de uma esfera de carga Q e raio R que gira com freqüência angular constante \omega em torno de seu eixo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
  • (a) Calcular o momento de dipolo magnético de um disco de carga total Q e raio R que gira com frequência angular constante \omega em torno de seu eixo.
  • (b) Usar o resultado do item (a) para calcular o momento de dipolo magnético de uma esfera de carga total Q e raio R que gira com frequência angular constante \omega em torno de seu eixo.
Informações dadas e assumidas (tiradas diretamente do enunciado):
  • Para o disco: carga total Q, raio R, rotação com velocidade angular \omega.
  • Para a esfera: carga total Q, raio R, rotação com velocidade angular \omega.
  • Supõe-se que as distribuições de carga são uniformes: para o disco, densidade superficial uniforme; para a esfera, densidade volumétrica uniforme (quando usarmos a decomposição em discos).
O objetivo é encontrar o vetor momento de dipolo magnético \boldsymbol{\mu} (direção e magnitude) para cada corpo em rotação.

Passo 2

Conceitos-chave e fórmulas que vamos usar (aula curta e prática).
  1. Momento de dipolo magnético de uma espira circular com corrente I: a magnitude é
\mu = I \, A,
onde A é a área da espira ( A=\pi a^2 para raio a). A direção é perpendicular ao plano da espira seguindo a regra da mão direita (se a corrente é no sentido positivo, \boldsymbol{\mu} aponta para cima).
  1. Corrente associada a uma carga dQ que dá volta com período T: a corrente é carga por período,
I = \frac{dQ}{T} = dQ\cdot\frac{\omega}{2\pi},
porque T = \dfrac{2\pi}{\omega}.
  1. Para uma distribuição contínua de carga que gira rigidamente, é útil decompor o corpo em anéis (ou discos) concêntricos: cada anel com carga dQ produz um momento \;d\mu = I\cdot \pi r^2\; se o anel tem raio r.
  2. Alternativa (mais geral, não necessária mas conceitual): para correntes contínuas \mathbf{J} em volume, o momento é \displaystyle \boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2}\int \mathbf{r}\times\mathbf{J}\,dV. Para correntes superficiais \mathbf{K} em uma área, \displaystyle \boldsymbol{\mu}=\frac{1}{2}\int \mathbf{r}\times\mathbf{K}\,dA.
Vou aplicar os itens 1–3 para o disco (metodologia direta) e, no item (b), construir a esfera como empilhamento de discos e integrar.

Passo 3

Resolvendo (a): decomposição do disco em anéis concêntricos.
  • Considere um anel estreito no disco, de raio r e largura radial dr. A área desse anel é dA = 2\pi r\,dr.
  • A densidade superficial de carga do disco, assumida uniforme, é
\sigma = \frac{Q}{\pi R^2}.
Portanto a carga do anel é
dQ = \sigma\, dA = \sigma\cdot 2\pi r\,dr.
  • Esse anel gira com velocidade angular \omega. A corrente associada ao anel é
I = \frac{dQ}{T} = dQ\cdot\frac{\omega}{2\pi}.
  • O momento de dipolo magnético do anel (que é uma espira de raio r) tem magnitude
d\mu = I\cdot (\text{área da espira}) = I\cdot \pi r^2.á
Substituindo I:
d\mu = \left(dQ\cdot\frac{\omega}{2\pi}\right)\pi r^2 = \frac{dQ\,\omega\,r^2}{2}.

Passo 4

Continuando o cálculo do disco, substituir dQ em termos de r e integrar.
  • Substituindo dQ = \sigma\cdot 2\pi r\,dr em d\mu,
d\mu = \frac{\omega\,r^2}{2}\cdot \sigma\cdot 2\pi r\,dr = \sigma\,\pi\,\omega\, r^3\,dr.
  • Agora integramos de r=0 até r=R para obter o momento total (a direção é ao longo do eixo de rotação; tomo como positivo o sentido do eixo +\hat{z} determinado pela regra da mão direita):
\mu = \int_0^R d\mu = \sigma\,\pi\,\omega \int_0^R r^3\,dr = \sigma\,\pi\,\omega\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^R = \sigma\,\pi\,\omega\,\frac{R^4}{4}.
  • Substituindo \sigma = \dfrac{Q}{\pi R^2} obtemos
\mu = \frac{Q}{\pi R^2}\cdot \pi\,\omega\,\frac{R^4}{4} = \frac{Q\,\omega\,R^2}{4}.

Passo 5

Interpretação do resultado do item (a) e escrita vetorial.
  • A magnitude do momento de dipolo magnético do disco é \dfrac{Q\omega R^2}{4}.
  • A direção é ao longo do eixo de rotação; escrevendo em forma vetorial (tomando o eixo de rotação como \hat{z}),
\boldsymbol{\mu}_{\text{disco}} = \frac{Q\,\omega\,R^2}{4}\,\hat{z}.
  • Observação física rápida e útil para prova: se a carga for positiva e gira no sentido anti-horário visto de cima, \boldsymbol{\mu} aponta para cima ( +\hat{z}); para carga negativa, \boldsymbol{\mu} inverte de sinal.

Passo 6

Resolvendo (b): usar o resultado do disco para obter o momento da esfera uniforme (empilhamento de discos).
  • Imagine a esfera sólida de raio R como um empilhamento de discos paralelos ao plano equatorial, cada disco a uma posição z (distância do centro), com espessura dz. O disco em z tem raio
a(z)=\sqrt{R^2-z^2}.
  • A densidade volumétrica de carga, assumida uniforme, é
\rho = \frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3Q}{4\pi R^3}.
  • A carga do disco de espessura dz é a densidade \rho vezes o volume do disco:
dQ = \rho \cdot (\text{área do disco})\cdot dz = \rho\cdot \pi a^2\,dz = \rho\cdot \pi (R^2-z^2)\,dz.á
  • Pelo resultado do item (a), um disco de carga dQ e raio a girando com \omega tem momento
d\mu = \frac{dQ\,\omega\,a^2}{4}.
Substituindo a^2 = R^2-z^2 e dQ acima:
d\mu = \frac{\omega}{4}\cdot \rho\pi (R^2-z^2)\cdot (R^2-z^2)\,dz = \frac{\omega\rho\pi}{4}(R^2-z^2)^2\,dz.

Passo 7

Integrar sobre z para obter o momento total da esfera.
  • Integramos z de -R a +R:
\mu = \int_{-R}^{R} d\mu = \frac{\omega\rho\pi}{4}\int_{-R}^{R} (R^2-z^2)^2\,dz.
  • Calcule a integral. Expanda (R^2-z^2)^2 = R^4 - 2R^2 z^2 + z^4. Então
\int_{-R}^{R} (R^2-z^2)^2\,dz = \int_{-R}^{R} R^4\,dz - 2R^2\int_{-R}^{R} z^2\,dz + \int_{-R}^{R} z^4\,dz.
Usando integrais pares:
\int_{-R}^{R} R^4\,dz = 2R^5, \quad \int_{-R}^{R} z^2\,dz = 2\cdot\frac{R^3}{3}=\frac{2R^3}{3}, \quad \int_{-R}^{R} z^4\,dz = 2\cdot\frac{R^5}{5}=\frac{2R^5}{5}.
Substituindo:
\int_{-R}^{R} (R^2-z^2)^2\,dz = 2R^5 - 2R^2\cdot\frac{2R^3}{3} + \frac{2R^5}{5} = 2R^5\left(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\right) = 2R^5\cdot\frac{8}{15}=\frac{16}{15}R^5.
  • Portanto
\mu = \frac{\omega\rho\pi}{4}\cdot \frac{16}{15}R^5 = \frac{4\pi\rho\,\omega\,R^5}{15}.
  • Substituindo \rho=\dfrac{3Q}{4\pi R^3},
\mu = \frac{4\pi\cdot \dfrac{3Q}{4\pi R^3}\,\omega\,R^5}{15} = \frac{3Q\,\omega\,R^2}{15} = \frac{Q\,\omega\,R^2}{5}.

Passo 8

Escrita vetorial e comentário final sobre (b).
  • A magnitude do momento de dipolo magnético da esfera sólida uniformemente carregada que gira com \omega é \dfrac{Q\omega R^2}{5}.
  • A direção é ao longo do eixo de rotação ( \hat{z} se esse for o eixo escolhido). Assim,
\boldsymbol{\mu}_{\text{esfera}} = \frac{Q\,\omega\,R^2}{5}\,\hat{z}.
  • Observação comparativa: para disco sólido obteve-se fator 1/4, para esfera sólida uniforme o fator é 1/5. É comum na prova pedir essa comparação ou a razão entre \mu e o momento angular L, mas aqui o enunciado só pediu \mu.

Resposta

(a) \displaystyle \boldsymbol{\mu}_{\text{disco}}=\frac{Q\,\omega\,R^{2}}{4}\,\hat{z}.
(b) \displaystyle \boldsymbol{\mu}_{\text{esfera}}=\frac{Q\,\omega\,R^{2}}{5}\,\hat{z}.

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