(1) (2,0 pontos) (a) Calcule o momento de dipolo magnético de um disco de carga
e raio
que gira com freqüência angular constante
em torno de seu eixo.
(b) Utilize o resultado anterior para calcular o dipolo magnético de uma esfera de carga
e raio
que gira com freqüência angular constante
em torno de seu eixo.
(b) Utilize o resultado anterior para calcular o dipolo magnético de uma esfera de carga
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
- (a) Calcular o momento de dipolo magnético de um disco de carga total
e raio que gira com frequência angular constante em torno de seu eixo. - (b) Usar o resultado do item (a) para calcular o momento de dipolo magnético de uma esfera de carga total
e raio que gira com frequência angular constante em torno de seu eixo.
Informações dadas e assumidas (tiradas diretamente do enunciado):
- Para o disco: carga total
, raio , rotação com velocidade angular . - Para a esfera: carga total
, raio , rotação com velocidade angular . - Supõe-se que as distribuições de carga são uniformes: para o disco, densidade superficial uniforme; para a esfera, densidade volumétrica uniforme (quando usarmos a decomposição em discos).
O objetivo é encontrar o vetor momento de dipolo magnético
(direção e magnitude) para cada corpo em rotação.
Passo 2
Conceitos-chave e fórmulas que vamos usar (aula curta e prática).
- Momento de dipolo magnético de uma espira circular com corrente
: a magnitude é
onde
é a área da espira (
para raio
). A direção é perpendicular ao plano da espira seguindo a regra da mão direita (se a corrente é no sentido positivo,
aponta para cima).
- Corrente associada a uma carga
que dá volta com período : a corrente é carga por período,
porque
.
-
Para uma distribuição contínua de carga que gira rigidamente, é útil decompor o corpo em anéis (ou discos) concêntricos: cada anel com carga
produz um momento se o anel tem raio . -
Alternativa (mais geral, não necessária mas conceitual): para correntes contínuas
em volume, o momento é . Para correntes superficiais em uma área, .
Vou aplicar os itens 1–3 para o disco (metodologia direta) e, no item (b), construir a esfera como empilhamento de discos e integrar.
Passo 3
Resolvendo (a): decomposição do disco em anéis concêntricos.
- Considere um anel estreito no disco, de raio
e largura radial . A área desse anel é . - A densidade superficial de carga do disco, assumida uniforme, é
Portanto a carga do anel é
- Esse anel gira com velocidade angular
. A corrente associada ao anel é
- O momento de dipolo magnético do anel (que é uma espira de raio
) tem magnitude
Substituindo
:
Passo 4
Continuando o cálculo do disco, substituir
em termos de
e integrar.
- Substituindo
em ,
- Agora integramos de
até para obter o momento total (a direção é ao longo do eixo de rotação; tomo como positivo o sentido do eixo determinado pela regra da mão direita):
- Substituindo
obtemos
Passo 5
Interpretação do resultado do item (a) e escrita vetorial.
- A magnitude do momento de dipolo magnético do disco é
. - A direção é ao longo do eixo de rotação; escrevendo em forma vetorial (tomando o eixo de rotação como
),
- Observação física rápida e útil para prova: se a carga for positiva e gira no sentido anti-horário visto de cima,
aponta para cima ( ); para carga negativa, inverte de sinal.
Passo 6
Resolvendo (b): usar o resultado do disco para obter o momento da esfera uniforme (empilhamento de discos).
- Imagine a esfera sólida de raio
como um empilhamento de discos paralelos ao plano equatorial, cada disco a uma posição (distância do centro), com espessura . O disco em tem raio
- A densidade volumétrica de carga, assumida uniforme, é
- A carga do disco de espessura
é a densidade vezes o volume do disco:
- Pelo resultado do item (a), um disco de carga
e raio girando com tem momento
Substituindo
e
acima:
Passo 7
Integrar sobre
para obter o momento total da esfera.
- Integramos
de a :
- Calcule a integral. Expanda
. Então
Usando integrais pares:
Substituindo:
- Portanto
- Substituindo
,
Passo 8
Escrita vetorial e comentário final sobre (b).
- A magnitude do momento de dipolo magnético da esfera sólida uniformemente carregada que gira com
é . - A direção é ao longo do eixo de rotação (
se esse for o eixo escolhido). Assim,
- Observação comparativa: para disco sólido obteve-se fator
, para esfera sólida uniforme o fator é . É comum na prova pedir essa comparação ou a razão entre e o momento angular , mas aqui o enunciado só pediu .
Resposta
(a)
(b)