QUESTÃO 1. A lagrangiana de um oscilador harmônico, produto de uma mola, é dada por:
, determine a Hamiltoniana e as equações de Hamilton.
Passo 1
O enunciado fornece a lagrangiana e pede duas coisas. Dados fornecidos:
- A lagrangiana é
, onde é a coordenada generalized e é sua derivada temporal.
O que se pede: - Determinar a Hamiltoniana
associada a essa lagrangiana. - Determinar as equações de Hamilton para as variáveis canônicas
e .
Passo 2
Definição da quantidade necessária: momento conjugado.
Explicação curta e didática: o momento conjugado é definido como a derivada parcial da lagrangiana em relação à velocidade generalized
. Isso faz sentido porque
mede “quanto a L muda se eu variar a velocidade”; é a variável que será canônica conjugada a
no formalismo Hamiltoniano. A definição é
Explicação curta e didática: o momento conjugado
Agora aplico isso ao
dado. Como
, a parte que depende de
é
. Diferenciando:
Portanto chegamos a
Passo 3
Inversão para obter
em função de
.
Explicação: para escrever a Hamiltoniana precisamos expressar a velocidade como função das variáveis canônicas
e
. A equação anterior é simples linear em
, portanto
Explicação: para escrever a Hamiltoniana precisamos expressar a velocidade
Passo 4
Definição da Hamiltoniana via transformada de Legendre.
Mini-aula: a Hamiltoniana é obtida por Legendre transformar a lagrangiana trocando a dependência de
por
. A fórmula é
Mini-aula: a Hamiltoniana
onde na prática substitui-se
por sua expressão em função de
. Esta
frequentemente corresponde à energia total (soma de energia cinética e potencial) quando a lagrangiana tem a forma usual “cinética menos potencial”.
Passo 5
Cálculo explícito da Hamiltoniana substituindo
. Primeiro escrevo
:
Agora escrevo
em termos de
e
. A parte cinética
torna-se
A parte potencial
já depende apenas de
, então permanece
. Assim
Agora aplico a fórmula
:
Faço as contas com calma:
Portanto a Hamiltoniana em função de
e
é
Comentário físico: o primeiro termo é a energia cinética escrita em termos de
(pois
) e o segundo é a energia potencial da mola.
Passo 6
Formulas de Hamilton e cálculo das derivadas parciais.
Mini-aula: as equações de Hamilton para um grau de liberdade são
Mini-aula: as equações de Hamilton para um grau de liberdade são
Essas equações descrevem a evolução temporal das variáveis canônicas
e
. Agora aplico ao
encontrado.
Calculo
:
Logo
Calculo
:
portanto
Passo 7
Verificação de consistência com a equação de movimento clássica.
Explicação: combinando as duas equações de Hamilton obtidas podemos eliminar para recuperar a equação usual do oscilador harmônico. Diferencio
em relação ao tempo:
Explicação: combinando as duas equações de Hamilton obtidas podemos eliminar
Substituo
:
Isso é a equação do oscilador harmônico simples. Define-se a frequência angular
de modo que a equação fica
. Bom sinal de que tudo está correto.
Passo 8
Resumo interpretativo e dicas para a prova (curto e direto).
- Sempre calcule primeiro
e invert a relação para . - Use
e substitua para obter . - Aplique as fórmulas
e . - Em casos com lagrangiana do tipo “cinético menos potencial”, a Hamiltoniana frequentemente será "cinético em
mais potencial em ".