QUESTÃO 1. A lagrangiana de um oscilador harmônico, produto de uma mola, é dada por: L=\frac{m \dot{x}^{2}}{2}-\frac{k x^{2}}{2}, determine a Hamiltoniana e as equações de Hamilton.

Passo 1

O enunciado fornece a lagrangiana e pede duas coisas. Dados fornecidos:
  • A lagrangiana é L=\dfrac{m\dot{x}^{2}}{2}-\dfrac{kx^{2}}{2}, onde x é a coordenada generalized e \dot{x} é sua derivada temporal.
    O que se pede:
  • Determinar a Hamiltoniana H(x,p) associada a essa lagrangiana.
  • Determinar as equações de Hamilton para as variáveis canônicas x e p.

Passo 2

Definição da quantidade necessária: momento conjugado.
Explicação curta e didática: o momento conjugado p é definido como a derivada parcial da lagrangiana em relação à velocidade generalized \dot{x}. Isso faz sentido porque p mede “quanto a L muda se eu variar a velocidade”; é a variável que será canônica conjugada a x no formalismo Hamiltoniano. A definição é
p=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}.
Agora aplico isso ao L dado. Como L=\dfrac{m\dot{x}^{2}}{2}-\dfrac{kx^{2}}{2}, a parte que depende de \dot{x} é \dfrac{m\dot{x}^{2}}{2}. Diferenciando:
p=\frac{\partial}{\partial \dot{x}}\left(\frac{m\dot{x}^{2}}{2}\right)=m\dot{x}.
Portanto chegamos a
p=m\dot{x}.

Passo 3

Inversão para obter \dot{x} em função de p.
Explicação: para escrever a Hamiltoniana precisamos expressar a velocidade \dot{x} como função das variáveis canônicas x e p. A equação anterior é simples linear em \dot{x}, portanto
\dot{x}=\frac{p}{m}.

Passo 4

Definição da Hamiltoniana via transformada de Legendre.
Mini-aula: a Hamiltoniana H(x,p) é obtida por Legendre transformar a lagrangiana trocando a dependência de \dot{x} por p. A fórmula é
H(x,p)=p\dot{x}-L(x,\dot{x}),
onde na prática substitui-se \dot{x} por sua expressão em função de p. Esta H frequentemente corresponde à energia total (soma de energia cinética e potencial) quando a lagrangiana tem a forma usual “cinética menos potencial”.

Passo 5

Cálculo explícito da Hamiltoniana substituindo \dot{x}=\dfrac{p}{m}. Primeiro escrevo p\dot{x}:
p\dot{x}=p\cdot\frac{p}{m}=\frac{p^{2}}{m}.
Agora escrevo L em termos de p e x. A parte cinética \dfrac{m\dot{x}^{2}}{2} torna-se
\frac{m}{2}\left(\frac{p}{m}\right)^{2}=\frac{m}{2}\cdot\frac{p^{2}}{m^{2}}=\frac{p^{2}}{2m}.
A parte potencial -\dfrac{kx^{2}}{2} já depende apenas de x, então permanece -\dfrac{kx^{2}}{2}. Assim
L(x,\dot{x}(p))=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{kx^{2}}{2}.
Agora aplico a fórmula H=p\dot{x}-L:
H(x,p)=\frac{p^{2}}{m}-\left(\frac{p^{2}}{2m}-\frac{kx^{2}}{2}\right).
Faço as contas com calma:
H(x,p)=\frac{p^{2}}{m}-\frac{p^{2}}{2m}+\frac{kx^{2}}{2}=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{kx^{2}}{2}.
Portanto a Hamiltoniana em função de x e p é
H(x,p)=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{kx^{2}}{2}.
Comentário físico: o primeiro termo é a energia cinética escrita em termos de p (pois T=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}=\dfrac{p^{2}}{2m}) e o segundo é a energia potencial da mola.

Passo 6

Formulas de Hamilton e cálculo das derivadas parciais.
Mini-aula: as equações de Hamilton para um grau de liberdade são
\dot{x}=\frac{\partial H}{\partial p},\qquad \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial x}.
Essas equações descrevem a evolução temporal das variáveis canônicas x(t) e p(t). Agora aplico ao H encontrado.
Calculo \dfrac{\partial H}{\partial p}:
\frac{\partial H}{\partial p}=\frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{p^{2}}{2m}+\frac{kx^{2}}{2}\right)=\frac{2p}{2m}=\frac{p}{m}.
Logo
\dot{x}=\frac{p}{m}.
Calculo -\dfrac{\partial H}{\partial x}:
\frac{\partial H}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{p^{2}}{2m}+\frac{kx^{2}}{2}\right)=\frac{2kx}{2}=kx,
portanto
\dot{p}=-kx.

Passo 7

Verificação de consistência com a equação de movimento clássica.
Explicação: combinando as duas equações de Hamilton obtidas podemos eliminar p para recuperar a equação usual do oscilador harmônico. Diferencio \dot{x}=\dfrac{p}{m} em relação ao tempo:
\ddot{x}=\frac{\dot{p}}{m}.
Substituo \dot{p}=-kx:
\ddot{x}=-\frac{k}{m}x.
Isso é a equação do oscilador harmônico simples. Define-se a frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},
de modo que a equação fica \ddot{x}+\omega^{2}x=0. Bom sinal de que tudo está correto.

Passo 8

Resumo interpretativo e dicas para a prova (curto e direto).
  • Sempre calcule primeiro p=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} e invert a relação para \dot{x}(p).
  • Use H=p\dot{x}-L e substitua \dot{x}(p) para obter H(x,p).
  • Aplique as fórmulas \dot{x}=\dfrac{\partial H}{\partial p} e \dot{p}=-\dfrac{\partial H}{\partial x}.
  • Em casos com lagrangiana do tipo “cinético menos potencial”, a Hamiltoniana frequentemente será "cinético em p mais potencial em x".

Resposta

H(x,p)=\dfrac{p^{2}}{2m}+\dfrac{kx^{2}}{2}
\dot{x}=\dfrac{p}{m},\qquad \dot{p}=-kx

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