Duas identidades que serão úteis (aqui está a convenção de soma de Einstein para índices):
\varepsilon_{k j}^{i}\varepsilon_{l m}^{j}=\delta_{l}^{i}\delta_{k m}-\delta_{m}^{i}\delta_{k l}e a relação entre integral de contorno e vetor área (vamos deduzir a forma conveniente abaixo a partir de \vec{S}=\tfrac12\oint\vec{r}\times d\vec{r}).\n
Objetivo intermediário: mostrar que, para o laço pequeno, a contribuição constante \vec{B}(0) se anula e que a contribuição linear em \vec{r} leva a uma expressão componente a componente que pode ser reduzida a derivadas de \vec{S}\cdot\vec{B}. A conclusão final será usar \vec{m}=I\vec{S} e a relação entre força e potencial \vec{F}=-\vec{\nabla}U para obter U=-\vec{m}\cdot\vec{B}.
Passo 2
Expandir \vec{B}(\vec{r}) e eliminar o termo constante\n
Inserindo a expansão \vec{B}(\vec{r})\approx \vec{B}(0)+(\vec{r}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} na expressão da força:
A primeira parcela é I\oint d\vec{r}\times\vec{B}(0). Como \vec{B}(0) é constante em relação à integração de contorno, pode-se tirar \vec{B}(0) fora do integral:
Mas \oint_{\partial S} d\vec{r}=0 porque é a integral de um vetor diferencial ao redor de um laço fechado (deslocamento total nulo). Logo essa parcela se anula.\n
Portanto sobra apenas a contribuição linear em \vec{r}:
avaliada em \vec{r}=0. Essa é exatamente a forma indicada no enunciado do item (a).
Passo 3
Escrever a componente i-ésima de \vec{F} e preparar a expressão para manipulação com índices\n
Usamos a representação componente do produto vetorial com o símbolo de Levi-Civita: para vetores \vec{a}\times\vec{b} tem-se (\vec{a}\times\vec{b})^{i}=\varepsilon_{k j}^{i} a^{k} b^{j} (convenção de índices como no enunciado). Aplicando isso:
Agora expanda (\vec{r}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} em componentes: (\vec{r}\cdot\vec{\nabla})B^{k}=r^{m}\partial_{m}B^{k}, onde \partial_{m} significa \partial/\partial x^{m} avaliada em \vec{r}=0. Substituindo:
Podemos levar a derivada \partial_{m}B^{k} para fora da integral, pois ela é avaliada na origem e independe do ponto de integração (a expansão em primeira ordem fez isso possível):
F^{i}=I\,\partial_{m}B^{k}\Big|_{\vec{r}=0}\,\varepsilon_{k j}^{i}\oint_{\partial S} r^{m} d r^{j}.
Passo 4
Relacionar a integral de contorno \oint r^{m} d r^{j} com o vetor área \vec{S}\n
Recorde: o vetor área do laço pode ser escrito como
S^{k}=\frac{1}{2}\varepsilon^{k}_{\;ab}\oint r^{a} d r^{b}.
Vamos manipular essa expressão para obter \oint r^{m} d r^{j} em termos de S^{k}. Começamos multiplicando ambos os lados pela constante \varepsilon_{k m}^{j} e usando a identidade de contração de \varepsilon:
\varepsilon_{k m}^{j}S^{k}=\frac{1}{2}\varepsilon_{k m}^{j}\varepsilon^{k}_{\;ab}\oint r^{a} d r^{b}.
Usando a identidade de contração dos símbolos de Levi-Civita (a mesma do enunciado, com índices apropriados) obtemos
\varepsilon_{k m}^{j}S^{k}=\frac{1}{2}\Bigl(\oint r^{j} d r_{m}-\oint r^{m} d r^{j}\Bigr).
Note agora que \displaystyle \oint r^{j} d r_{m}+\oint r^{m} d r^{j}=\oint d(r^{j}r^{m})=0 (integral total de um exato ao longo de contorno fechado), portanto \oint r^{j} d r_{m}=-\oint r^{m} d r^{j}. Substituindo nessa diferença dá
\varepsilon_{k m}^{j}S^{k}=\frac{1}{2}\bigl(\oint r^{j} d r_{m}-\bigl(-\oint r^{j} d r_{m}\bigr)\bigr)=\oint r^{j} d r_{m}.
Invertendo índices (e lembrando que em coordenadas cartesianas subir/baixar índice não altera o valor dos componentes), obtemos a forma conveniente
\oint_{\partial S} r^{m} d r^{j}=-\varepsilon_{k m}^{j}S^{k}.
Comentário intuitivo: a integral \oint r^{m} d r^{j} está ligada geometricamente à área orientada do laço; o sinal aparece pela ordem dos índices e pela orientação do produto vetorial na definição de \vec{S}. (Essa forma é a que precisamos para seguir.)
Passo 5
Substituir a relação da integral na expressão de F^{i} e usar a identidade de \varepsilon\n
Substituindo \oint r^{m} d r^{j}=-\varepsilon_{l m}^{j}S^{l} em
F^{i}=I\,\partial_{m}B^{k}\,\varepsilon_{k j}^{i}\oint r^{m} d r^{j},
Agora usamos uma propriedade fundamental do campo magnético: \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 (lei de Gauss para o magnetismo). Assim o primeiro termo desaparece e ficamos com
F^{i}=I\,\partial^{i}(S^{l}B^{l}).
Reescrevendo em notação vetorial, lembrando que \vec{m}=I\vec{S}, obtemos a forma vetorial desejada:
\vec{F}=\vec{\nabla}(\vec{m}\cdot\vec{B}).
Passo 6
Concluir a energia potencial a partir da relação entre força e potencial\n
Em mecânica conservativa, a força é relacionada à energia potencial por \vec{F}=-\vec{\nabla}U. Comparando com o resultado recém-obtido,
A constante pode ser fixada arbitrariamente (normalmente escolhida zero). Portanto escolhemos
U(\vec{r})=-\vec{m}\cdot\vec{B}(\vec{r}).
Interpretação física rápida: o dipolo tende a mover-se para aumentar \vec{m}\cdot\vec{B}, reduzindo U; o mínimo de energia ocorre quando \vec{m} está alinhado com \vec{B}, como se esperava.