(2,0 pontos) Mostre que a energia potencial U(\vec{r}) de um dipolo magnético \vec{m} mergulhado em um campo magnético \vec{B}(\vec{r}) é dado por
U(\vec{r})=-\vec{m} \cdot \vec{B}(\vec{r})
através do seguinte roteiro:
Basta mostrar que
\vec{F}=\vec{\nabla}(\vec{m} \cdot \vec{B})
através dos seguintes passos:
(a) Considere (sem prejuízo de generalidade) a força magnética sobre um dipolo localizado na origem:
\vec{m}=\frac{I}{2} \oint_{\partial S} \vec{r} \times d \vec{r}=I \vec{S}
mergulhado em um campo \vec{B}(\vec{r}) cuja força de Lorentz pode ser expressa como:
\vec{F}=I \oint_{\partial S} d \vec{r} \times \vec{B}(\vec{r})
e faça uma expansão do campo \vec{B}(\vec{r}) em 1a ordem em torno de \vec{r}=0 :
\vec{B}(\vec{r}) \approx \vec{B}(0)+\left.(\vec{r} \cdot \vec{\nabla})\right|_{\vec{r}=0} \vec{B}
mostrando que:
\vec{F}=I \oint_{\partial S} d \vec{r} \times\left[\left.(\vec{r} \cdot \vec{\nabla})\right|_{\vec{r}=0} \vec{B}\right]
(b) Escreva a i-ésima componente da equação vetorial acima, utilizando as identidades:
\varepsilon_{k j}^{i} \varepsilon_{l m}^{j}=\delta_{l}^{i} \delta_{k m}-\delta_{m}^{i} \delta_{k l}
e
\oint_{\partial S} x_{m} d x^{j}=\varepsilon_{k m}^{j} S^{k}
mostrando que:
F^{i}=\left.\left(\partial^{i}\right)\right|_{\vec{r}=0}(I \vec{S} \cdot \vec{B})

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado\n
  • Pede-se mostrar que a energia potencial de um dipolo magnético \vec{m} imerso em um campo magnético \vec{B}(\vec{r}) é
U(\vec{r})=-\vec{m}\cdot\vec{B}(\vec{r}).
  • O roteiro dado exige provar primeiro que a força sobre o dipolo satisfaz
\vec{F}=\vec{\nabla}(\vec{m}\cdot\vec{B}).
  • Informações fornecidas (que vamos usar):\n
    • Momento magnético do circuito (dipolo) situado na origem:
    \vec{m}=\frac{I}{2}\oint_{\partial S}\vec{r}\times d\vec{r}=I\vec{S},onde \vec{S} é o vetor área do laço (orientado) e I é a corrente.\n
    • Força magnética resultante sobre o laço:
    \vec{F}=I\oint_{\partial S} d\vec{r}\times\vec{B}(\vec{r}).
    • Expansão em primeira ordem do campo em torno da origem:
    \vec{B}(\vec{r})\approx \vec{B}(0)+\bigl.(\vec{r}\cdot\vec{\nabla})\bigr|_{\vec{r}=0}\vec{B}.
    • Duas identidades que serão úteis (aqui está a convenção de soma de Einstein para índices):
    \varepsilon_{k j}^{i}\varepsilon_{l m}^{j}=\delta_{l}^{i}\delta_{k m}-\delta_{m}^{i}\delta_{k l}e a relação entre integral de contorno e vetor área (vamos deduzir a forma conveniente abaixo a partir de \vec{S}=\tfrac12\oint\vec{r}\times d\vec{r}).\n
  • Objetivo intermediário: mostrar que, para o laço pequeno, a contribuição constante \vec{B}(0) se anula e que a contribuição linear em \vec{r} leva a uma expressão componente a componente que pode ser reduzida a derivadas de \vec{S}\cdot\vec{B}. A conclusão final será usar \vec{m}=I\vec{S} e a relação entre força e potencial \vec{F}=-\vec{\nabla}U para obter U=-\vec{m}\cdot\vec{B}.

Passo 2

Expandir \vec{B}(\vec{r}) e eliminar o termo constante\n
  • Inserindo a expansão \vec{B}(\vec{r})\approx \vec{B}(0)+(\vec{r}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} na expressão da força:
\vec{F}=I\oint_{\partial S} d\vec{r}\times\Bigl[\vec{B}(0)+\bigl.(\vec{r}\cdot\vec{\nabla})\bigr|_{\vec{r}=0}\vec{B}\Bigr].
  • A primeira parcela é I\oint d\vec{r}\times\vec{B}(0). Como \vec{B}(0) é constante em relação à integração de contorno, pode-se tirar \vec{B}(0) fora do integral:
I\oint_{\partial S} d\vec{r}\times\vec{B}(0)=I\Bigl(\oint_{\partial S} d\vec{r}\Bigr)\times\vec{B}(0).
  • Mas \oint_{\partial S} d\vec{r}=0 porque é a integral de um vetor diferencial ao redor de um laço fechado (deslocamento total nulo). Logo essa parcela se anula.\n
  • Portanto sobra apenas a contribuição linear em \vec{r}:
\vec{F}=I\oint_{\partial S} d\vec{r}\times\bigl[(\vec{r}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}\bigr],
avaliada em \vec{r}=0. Essa é exatamente a forma indicada no enunciado do item (a).

Passo 3

Escrever a componente i-ésima de \vec{F} e preparar a expressão para manipulação com índices\n
  • Usamos a representação componente do produto vetorial com o símbolo de Levi-Civita: para vetores \vec{a}\times\vec{b} tem-se (\vec{a}\times\vec{b})^{i}=\varepsilon_{k j}^{i} a^{k} b^{j} (convenção de índices como no enunciado). Aplicando isso:
F^{i}=I\oint_{\partial S} \varepsilon_{k j}^{i}\,d r^{j}\,\bigl[(\vec{r}\cdot\vec{\nabla})\vec{B}\bigr]^{k}.
  • Agora expanda (\vec{r}\cdot\vec{\nabla})\vec{B} em componentes: (\vec{r}\cdot\vec{\nabla})B^{k}=r^{m}\partial_{m}B^{k}, onde \partial_{m} significa \partial/\partial x^{m} avaliada em \vec{r}=0. Substituindo:
F^{i}=I\oint_{\partial S} \varepsilon_{k j}^{i}\,d r^{j}\,r^{m}\,\partial_{m}B^{k}\Big|_{\vec{r}=0}.
  • Podemos levar a derivada \partial_{m}B^{k} para fora da integral, pois ela é avaliada na origem e independe do ponto de integração (a expansão em primeira ordem fez isso possível):
F^{i}=I\,\partial_{m}B^{k}\Big|_{\vec{r}=0}\,\varepsilon_{k j}^{i}\oint_{\partial S} r^{m} d r^{j}.

Passo 4

Relacionar a integral de contorno \oint r^{m} d r^{j} com o vetor área \vec{S}\n
  • Recorde: o vetor área do laço pode ser escrito como
\vec{S}=\frac{1}{2}\oint_{\partial S}\vec{r}\times d\vec{r}.
Em componentes isso é
S^{k}=\frac{1}{2}\varepsilon^{k}_{\;ab}\oint r^{a} d r^{b}.
  • Vamos manipular essa expressão para obter \oint r^{m} d r^{j} em termos de S^{k}. Começamos multiplicando ambos os lados pela constante \varepsilon_{k m}^{j} e usando a identidade de contração de \varepsilon:
\varepsilon_{k m}^{j}S^{k}=\frac{1}{2}\varepsilon_{k m}^{j}\varepsilon^{k}_{\;ab}\oint r^{a} d r^{b}.
  • Usando a identidade de contração dos símbolos de Levi-Civita (a mesma do enunciado, com índices apropriados) obtemos
\varepsilon_{k m}^{j}\varepsilon^{k}_{\;ab}=\delta^{j}_{a}\delta_{m b}-\delta^{j}_{b}\delta_{m a}.
Aplicando isso:
\varepsilon_{k m}^{j}S^{k}=\frac{1}{2}\Bigl(\oint r^{j} d r_{m}-\oint r^{m} d r^{j}\Bigr).
  • Note agora que \displaystyle \oint r^{j} d r_{m}+\oint r^{m} d r^{j}=\oint d(r^{j}r^{m})=0 (integral total de um exato ao longo de contorno fechado), portanto \oint r^{j} d r_{m}=-\oint r^{m} d r^{j}. Substituindo nessa diferença dá
\varepsilon_{k m}^{j}S^{k}=\frac{1}{2}\bigl(\oint r^{j} d r_{m}-\bigl(-\oint r^{j} d r_{m}\bigr)\bigr)=\oint r^{j} d r_{m}.
  • Invertendo índices (e lembrando que em coordenadas cartesianas subir/baixar índice não altera o valor dos componentes), obtemos a forma conveniente
\oint_{\partial S} r^{m} d r^{j}=-\varepsilon_{k m}^{j}S^{k}.
  • Comentário intuitivo: a integral \oint r^{m} d r^{j} está ligada geometricamente à área orientada do laço; o sinal aparece pela ordem dos índices e pela orientação do produto vetorial na definição de \vec{S}. (Essa forma é a que precisamos para seguir.)

Passo 5

Substituir a relação da integral na expressão de F^{i} e usar a identidade de \varepsilon\n
  • Substituindo \oint r^{m} d r^{j}=-\varepsilon_{l m}^{j}S^{l} em
F^{i}=I\,\partial_{m}B^{k}\,\varepsilon_{k j}^{i}\oint r^{m} d r^{j},
obtém-se
F^{i}= -I\,\partial_{m}B^{k}\,\varepsilon_{k j}^{i}\varepsilon_{l m}^{j}S^{l}.
  • Agora aplicamos a identidade de contração fornecida:
\varepsilon_{k j}^{i}\varepsilon_{l m}^{j}=\delta_{l}^{i}\delta_{k m}-\delta_{m}^{i}\delta_{k l}.
Substituindo:
F^{i}=-I\,\partial_{m}B^{k}\bigl(\delta_{l}^{i}\delta_{k m}-\delta_{m}^{i}\delta_{k l}\bigr)S^{l}.
  • Desenvolvendo os deltas e reagrupando termos:
F^{i}=-I\Bigl[\delta_{l}^{i}\,(\partial_{m}B^{m})\,S^{l}-\delta_{m}^{i}\,(\partial_{m}B^{k})\,\delta_{k l}\,S^{l}\Bigr].
Isto simplifica para
F^{i}=-I\Bigl[(\partial_{m}B^{m})S^{i}-\partial^{i}(S^{l}B^{l})\Bigr].
  • Agora usamos uma propriedade fundamental do campo magnético: \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 (lei de Gauss para o magnetismo). Assim o primeiro termo desaparece e ficamos com
F^{i}=I\,\partial^{i}(S^{l}B^{l}).
  • Reescrevendo em notação vetorial, lembrando que \vec{m}=I\vec{S}, obtemos a forma vetorial desejada:
\vec{F}=\vec{\nabla}(\vec{m}\cdot\vec{B}).

Passo 6

Concluir a energia potencial a partir da relação entre força e potencial\n
  • Em mecânica conservativa, a força é relacionada à energia potencial por \vec{F}=-\vec{\nabla}U. Comparando com o resultado recém-obtido,
\vec{F}=\vec{\nabla}(\vec{m}\cdot\vec{B}),
vemos que uma escolha consistente para U é
U(\vec{r})=-\vec{m}\cdot\vec{B}(\vec{r}) + \text{constante}.
  • A constante pode ser fixada arbitrariamente (normalmente escolhida zero). Portanto escolhemos
U(\vec{r})=-\vec{m}\cdot\vec{B}(\vec{r}).
  • Interpretação física rápida: o dipolo tende a mover-se para aumentar \vec{m}\cdot\vec{B}, reduzindo U; o mínimo de energia ocorre quando \vec{m} está alinhado com \vec{B}, como se esperava.

Resposta

F^{i}=\left.\left(\partial^{i}\right)\right|_{\vec{r}=0}\bigl(I\vec{S}\cdot\vec{B}\bigr)\n
U(\vec{r})=-\vec{m}\cdot\vec{B}(\vec{r})

Exercícios relacionados