(2 pontos) Calcule integralC z d zz^2-8 z+15, em que C=z| | z mid=4 está orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
integralCz,dzz^2-8z+15
ao longo do círculo Ccolon |z|=4 orientado no sentido anti-horário.
O conteúdo principal é o Teorema dos Resíduos, que nos diz que, para uma função meromorfa,
integralCf(z),dz = 2pi i sum (resíduos de f dentro de C) í

Passo 2

Fatoramos o denominador para encontrar os polos:
z^2-8z+15=(z-3)(z-5)
Logo os polos são z=3 e z=5. Como o círculo C é |z|=4, apenas z=3 (já que |3|<4 e |5|>4) está dentro de C.

Passo 3

Como z=3 é um polo simples, o resíduo de
f(z)=z(z-3)(z-5)
em z=3 é
Res(f,3) =limzto3(z-3)z(z-3)(z-5) =limzto3zz-5 =33-5 =-32

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos,
integralCz,dzz^2-8z+15 =2pi i;l(Res(f,3)r) =2pi i(-32) =-3pi i

Resposta

-3pi i

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