Questão: (pontos) Sejam
e
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada parcial de $ w $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial w}{\partial y} $. Aqui, $ w $ é uma função de duas variáveis, $ u $ e $ v $, que por sua vez dependem de $ x $ e $ y $. Então, vamos usar o Regra da Cadeia para resolver isso. Vamos precisar calcular as derivadas de $ u $ e $ v $ em relação a $ y $ e também as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ u $ e $ v $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que $ w = f(u, v) $. Para encontrar $ \frac{\partial w}{\partial y} $, usamos a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis:
Isso significa que precisamos encontrar $ \frac{\partial u}{\partial y} $ e $ \frac{\partial v}{\partial y} $.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial y} $. Sabemos que:
Para derivar $ u $ em relação a $ y $, usamos a derivada da função cosseno e a regra da cadeia:
Agora, derivamos $ 3x^{2} y^{3} $ em relação a $ y $:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial v}{\partial y} $, onde:
Para derivar $ v $ em relação a $ y $, usamos a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, somando:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos $ \frac{\partial u}{\partial y} $ e $ \frac{\partial v}{\partial y} $, vamos substituir tudo na Regra da Cadeia que escrevemos no Passo 2:
Resposta
Portanto, a derivada parcial de $ w $ em relação a $ y $ é: