3^a Questão: (pontos) Sejam w=f(u, v), u=cos (3 x^2 y^3) e v=7 x y-x^25-y. Calcule partial wpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada parcial de $ w $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial w}{\partial y} $. Aqui, $ w $ é uma função de duas variáveis, $ u $ e $ v $, que por sua vez dependem de $ x $ e $ y $. Então, vamos usar o Regra da Cadeia para resolver isso. Vamos precisar calcular as derivadas de $ u $ e $ v $ em relação a $ y $ e também as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ u $ e $ v $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que $ w = f(u, v) $. Para encontrar $ \frac{\partial w}{\partial y} $, usamos a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis:
w = f(u, v)
Isso significa que precisamos encontrar $ \frac{\partial u}{\partial y} $ e $ \frac{\partial v}{\partial y} $.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial y} $. Sabemos que:
partial upartial y
Para derivar $ u $ em relação a $ y $, usamos a derivada da função cosseno e a regra da cadeia:
u = cos(3x^2 y^3)
Agora, derivamos $ 3x^{2} y^{3} $ em relação a $ y $:
u
Então:
y

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial v}{\partial y} $, onde:
partial vpartial y
Para derivar $ v $ em relação a $ y $, usamos a regra do quociente:
v = 7xy - x^25 - y
Vamos simplificar o numerador:
v
y
Então, somando:
partial vpartial y = (5 - y)(7x) - (7xy - x^2)(-1)(5 - y)^2
Portanto:
(5 - y)(7x) = 35x - 7xy

Passo 5

Agora que temos $ \frac{\partial u}{\partial y} $ e $ \frac{\partial v}{\partial y} $, vamos substituir tudo na Regra da Cadeia que escrevemos no Passo 2:
partial upartial y

Resposta

Portanto, a derivada parcial de $ w $ em relação a $ y $ é:
w

Exercícios relacionados