(2,5 pontos) Utilizano coordenadas esféricas calcule a seguinte integral
onde
é a região entre
e
e o eixo
positivo.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral tripla
onde
é a região definida por:
-
e , ou seja, as esferas de raios e (a região entre elas); - apenas a metade com eixo
positivo (isto é, ).
A pergunta é: calcular o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas (não vou resolver ainda, só explico as fórmulas que vamos precisar):
- Em coordenadas esféricas usa-se
para a distância ao origem, para o ângulo colatitude (ângulo medido a partir do eixo positivo) e para o ângulo azimutal no plano . As relações são
- A soma dos quadrados fica simplesmente
- O elemento de volume em esféricas é
Explicação curta do elemento de volume: a pequena região tem comprimento radial
, comprimento angular
na direção polar e
na direção azimutal; multiplicando dá
.
Passo 3
Determinar os limites para
da região
:
- Como
fica entre as esferas de raios e , tem-se
- Como é apenas a metade com
, e é o ângulo a partir do eixo positivo, isso corresponde a
- Como a região envolve todo o redor em torno do eixo
, o ângulo azimutal percorre
Passo 4
Substituir o integrando e o elemento de volume pelas expressões esféricas:
- O expoente fica
(porque ). - O integrando multiplicado pelo elemento de volume é
Portanto a integral em coordenadas esféricas é
Passo 5
Separar as integrais quando possível (a expressão é produto de fatores que dependem de variáveis distintas):
Calcular as duas integrais angulares fáceis:
Logo o fator angular total é
.
Passo 6
Calcular a integral radial
Usar a substituição
. Então
, isto é
.
Os limites em são: quando
temos
; quando
temos
.
Portanto
Os limites em
Portanto
Passo 7
Multiplicar o resultado radial pelo fator angular
: