(2,5 pontos) Utilizano coordenadas esféricas calcule a seguinte integral
\iiint_{E} e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} d V
onde E é a região entre x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=16 e o eixo z positivo.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral tripla
\iiint_{E} e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}\,dV
onde E é a região definida por:
  • x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=16, ou seja, as esferas de raios 2 e 4 (a região entre elas);
  • apenas a metade com eixo z positivo (isto é, z\ge 0).
A pergunta é: calcular o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas (não vou resolver ainda, só explico as fórmulas que vamos precisar):
  • Em coordenadas esféricas usa-se \rho para a distância ao origem, \varphi para o ângulo colatitude (ângulo medido a partir do eixo z positivo) e \theta para o ângulo azimutal no plano xy. As relações são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • A soma dos quadrados fica simplesmente
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.
  • O elemento de volume em esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação curta do elemento de volume: a pequena região tem comprimento radial d\rho, comprimento angular \rho\,d\varphi na direção polar e \rho\sin\varphi\,d\theta na direção azimutal; multiplicando dá \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites para \rho,\varphi,\theta da região E:
  • Como E fica entre as esferas de raios 2 e 4, tem-se
\rho\in[2,4].
  • Como é apenas a metade com z\ge 0, e \varphi é o ângulo a partir do eixo z positivo, isso corresponde a
\varphi\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
  • Como a região envolve todo o redor em torno do eixo z, o ângulo azimutal percorre
\theta\in[0,2\pi].

Passo 4

Substituir o integrando e o elemento de volume pelas expressões esféricas:
  • O expoente fica (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}=(\rho^{2})^{3/2}=\rho^{3} (porque \rho\ge0).
  • O integrando multiplicado pelo elemento de volume é
e^{\rho^{3}}\cdot \rho^{2}\sin\varphi.
Portanto a integral em coordenadas esféricas é
\iiint_{E} e^{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{2}^{4} e^{\rho^{3}}\rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Separar as integrais quando possível (a expressão é produto de fatores que dependem de variáveis distintas):
\int_{0}^{2\pi}\!d\theta \cdot \int_{0}^{\pi/2}\!\sin\varphi\,d\varphi \cdot \int_{2}^{4}\!\rho^{2}e^{\rho^{3}}\,d\rho.
Calcular as duas integrais angulares fáceis:
\int_{0}^{2\pi}\!d\theta = 2\pi,
\int_{0}^{\pi/2}\!\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/2}=1.
Logo o fator angular total é 2\pi\cdot 1=2\pi.

Passo 6

Calcular a integral radial
\int_{2}^{4}\rho^{2}e^{\rho^{3}}\,d\rho.
Usar a substituição u=\rho^{3}. Então du=3\rho^{2}\,d\rho, isto é \rho^{2}\,d\rho=\dfrac{du}{3}.
Os limites em u são: quando \rho=2 temos u=2^{3}=8; quando \rho=4 temos u=4^{3}=64.
Portanto
\int_{2}^{4}\rho^{2}e^{\rho^{3}}\,d\rho = \frac{1}{3}\int_{8}^{64} e^{u}\,du = \frac{1}{3}\bigl[e^{u}\bigr]_{8}^{64} = \frac{1}{3}\left(e^{64}-e^{8}\right).

Passo 7

Multiplicar o resultado radial pelo fator angular 2\pi:
\iiint_{E} e^{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}\,dV = 2\pi\cdot \frac{1}{3}\left(e^{64}-e^{8}\right)=\frac{2\pi}{3}\left(e^{64}-e^{8}\right).

Resposta

\dfrac{2\pi}{3}\left(e^{64}-e^{8}\right)

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