Faça o que se pede
Calcule
, onde
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo
Informações claras que temos:
- A função a integrar é
. - O domínio é um retângulo com
variando de a e variando de a .
O que é pedido: calcular o valor numérico da integral dupla sobre.
Passo 2
Estratégia e justificativa (sem calcular ainda):
- A função
é contínua no retângulo , logo podemos usar o Teorema de Fubini e escrever a integral dupla como uma integral iterada. - É mais simples integrar primeiro em relação a
, porque aparece como fator multiplicativo em e a primitiva em fica muito simples por substituição. Vou então escrever a integral como uma integral iterada com interno e externo.
Passo 3
Escrever a integral iterada usando Fubini:
Aqui a integral interna
será calculada com
tratado como constante.
Passo 4
Calcular a integral interna
:
- Faça a substituição
. Então , isto é, . - Quando
temos . Quando temos . - Substituindo:
Explicando: a presença do fator
faz com que
, cancelando o
no integrando e deixando a integral simples de
.
Passo 5
Agora integrar em
a expressão obtida:
Calcule cada termo:
- Antiderivada de
é (porque derivando vem ). - Logo
- E
Portanto
Passo 6
Comentário didático rápido (opcional para prova):
- Integração primeiro em
foi direta por substituição . Se alguém tentasse integrar primeiro em , seria necessário usar integração por partes (mais trabalhoso), o que confirma que a escolha da ordem importa para simplificar os cálculos. - Também é útil lembrar que em retângulos contínuos sempre podemos trocar a ordem pela Fubini, então escolha a ordem que facilita as integrais.