Faça o que se pede
Calcule \iint_{R} x e^{x y} d A, onde R=\{(x, y) ; 1 \leq x \leq 2 e 0 \leq y \leq 2\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} x e^{x y}\, dA,
onde a região R é o retângulo
R=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2,\;0\le y\le 2\}.
Informações claras que temos:
  • A função a integrar é f(x,y)=x e^{x y}.
  • O domínio é um retângulo com x variando de 1 a 2 e y variando de 0 a 2.
    O que é pedido: calcular o valor numérico da integral dupla sobre R.

Passo 2

Estratégia e justificativa (sem calcular ainda):
  • A função f(x,y)=x e^{xy} é contínua no retângulo R, logo podemos usar o Teorema de Fubini e escrever a integral dupla como uma integral iterada.
  • É mais simples integrar primeiro em relação a y, porque x aparece como fator multiplicativo em x e^{xy} e a primitiva em y fica muito simples por substituição. Vou então escrever a integral como uma integral iterada com y interno e x externo.

Passo 3

Escrever a integral iterada usando Fubini:
\iint_{R} x e^{x y}\, dA = \int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=0}^{2} x e^{x y}\, dy\right) dx.
Aqui a integral interna \int_{y=0}^{2} x e^{x y}\, dy será calculada com x tratado como constante.

Passo 4

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{y=0}^{2} x e^{x y}\, dy:
  • Faça a substituição \displaystyle u = x y. Então \displaystyle du = x\, dy, isto é, \displaystyle dy = \frac{du}{x}.
  • Quando y=0 temos u=0. Quando y=2 temos u=2x.
  • Substituindo:
\int_{y=0}^{2} x e^{x y}\, dy = \int_{u=0}^{2x} e^{u}\, du = \bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{2x} = e^{2x}-1.
Explicando: a presença do fator x faz com que du = x\,dy, cancelando o x no integrando e deixando a integral simples de e^{u}.

Passo 5

Agora integrar em x a expressão obtida:
\iint_{R} x e^{x y}\, dA = \int_{1}^{2} \bigl(e^{2x}-1\bigr)\, dx = \int_{1}^{2} e^{2x}\, dx - \int_{1}^{2} 1\, dx.
Calcule cada termo:
  • Antiderivada de e^{2x} é \displaystyle \frac{1}{2}e^{2x} (porque derivando \frac{1}{2}e^{2x} vem e^{2x}\cdot 2\cdot\frac{1}{2}=e^{2x}).
  • Logo
\int_{1}^{2} e^{2x}\, dx = \left[\tfrac{1}{2}e^{2x}\right]_{1}^{2} = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{4}-e^{2}\bigr).
  • E
\int_{1}^{2} 1\, dx = [x]_{1}^{2} = 1.
Portanto
\iint_{R} x e^{x y}\, dA = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{4}-e^{2}\bigr) - 1.

Passo 6

Comentário didático rápido (opcional para prova):
  • Integração primeiro em y foi direta por substituição u=xy. Se alguém tentasse integrar primeiro em x, seria necessário usar integração por partes (mais trabalhoso), o que confirma que a escolha da ordem importa para simplificar os cálculos.
  • Também é útil lembrar que em retângulos contínuos sempre podemos trocar a ordem pela Fubini, então escolha a ordem que facilita as integrais.

Resposta

\tfrac{1}{2}\bigl(e^{4}-e^{2}\bigr)-1

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