Determine se cada uma das seguintes proposições é uma tautologia, contradição ou contingência:
p \leftrightarrow \neg p

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a proposição \;p \leftrightarrow \neg p\; é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência.
Informações dadas: a fórmula proposicional envolve somente o átomo proposicional \;p\; e o conectivo bicondicional \leftrightarrow entre \;p\; e sua negação \;\neg p\;.

Passo 2

Vamos entender o que significa a negação \neg p.
A negação de uma proposição inverte seu valor de verdade: se \;p\; é verdadeira então \;\neg p\; é falsa, e se \;p\; é falsa então \;\neg p\; é verdadeira. Em símbolos:
\begin{array}{c|c} p & \neg p\\\ \hline \mathrm{V} & \mathrm{F}\\\ \mathrm{F} & \mathrm{V} \end{array}
Aqui uso \mathrm{V} para verdadeiro e \mathrm{F} para falso.

Passo 3

Agora vamos explicar o bicondicional \leftrightarrow.
Por definição, para quaisquer proposições A e B temos que A \leftrightarrow B é verdadeira exatamente quando A e B têm o mesmo valor de verdade (ambos verdadeiros ou ambos falsos). Uma equivalência útil é:
A \leftrightarrow B \equiv (A\land B)\lor(\neg A\land \neg B).
Aqui \land é “e”, \lor é “ou”, e \neg é negação. Isso significa que para avaliar um bicondicional basta verificar se os dois lados são iguais em cada caso.

Passo 4

Avaliação direta da fórmula \;p \leftrightarrow \neg p\; usando a equivalência do passo anterior. Substituindo A=p e B=\neg p temos:
p \leftrightarrow \neg p \equiv (p\land \neg p)\lor(\neg p\land \neg\neg p).
Como \neg\neg p é logicamente equivalente a p, a expressão fica
(p\land \neg p)\lor(\neg p\land p).
Os dois termos são idênticos, portanto isso equivale a
(p\land \neg p).
Mas (p\land \neg p) é sempre falso, porque uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Logo a expressão é sempre falsa.
Podemos ver isso também com a tabela-verdade completa:
\begin{array}{c|c|c} p & \neg p & p \leftrightarrow \neg p\\\ \hline \mathrm{V} & \mathrm{F} & \mathrm{F}\\\ \mathrm{F} & \mathrm{V} & \mathrm{F} \end{array}
Em ambas as linhas o bicondicional resulta em \mathrm{F}.

Passo 5

Interpretação final: como a proposição \;p \leftrightarrow \neg p\; é falsa para todas as valorações de p (tanto quando p é verdadeira quanto quando p é falsa), ela nunca é verdadeira. Uma fórmula que é sempre falsa é chamada de contradição.

Resposta

Contradição

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