Determine se cada uma das seguintes proposições é uma tautologia, contradição ou contingência:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a proposição
é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência.
Informações dadas: a fórmula proposicional envolve somente o átomo proposicional e o conectivo bicondicional
entre
e sua negação
.
Informações dadas: a fórmula proposicional envolve somente o átomo proposicional
Passo 2
Vamos entender o que significa a negação
.
A negação de uma proposição inverte seu valor de verdade: se é verdadeira então
é falsa, e se
é falsa então
é verdadeira. Em símbolos:
A negação de uma proposição inverte seu valor de verdade: se
Aqui uso
para verdadeiro e
para falso.
Passo 3
Agora vamos explicar o bicondicional
.
Por definição, para quaisquer proposições e
temos que
é verdadeira exatamente quando
e
têm o mesmo valor de verdade (ambos verdadeiros ou ambos falsos). Uma equivalência útil é:
Por definição, para quaisquer proposições
Aqui
é “e”,
é “ou”, e
é negação. Isso significa que para avaliar um bicondicional basta verificar se os dois lados são iguais em cada caso.
Passo 4
Avaliação direta da fórmula
usando a equivalência do passo anterior. Substituindo
e
temos:
Como
é logicamente equivalente a
, a expressão fica
Os dois termos são idênticos, portanto isso equivale a
Mas
é sempre falso, porque uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Logo a expressão é sempre falsa.
Podemos ver isso também com a tabela-verdade completa:
Em ambas as linhas o bicondicional resulta em
.
Passo 5
Interpretação final: como a proposição
é falsa para todas as valorações de
(tanto quando
é verdadeira quanto quando
é falsa), ela nunca é verdadeira. Uma fórmula que é sempre falsa é chamada de contradição.
Resposta
Contradição