(2,0 pontos) Calcule a transformada da função periódica
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} e^{j n \omega_{0} t}
Use o resultado obtido para determinar a transformada de Fourier de \sin \left(\omega_{0} t\right).

Passo 1

O enunciado dá a função periódica
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} e^{j n \omega_{0} t}
e pede duas coisas: (a) calcular a transformada de Fourier de f(t) (ou seja, encontrar \mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)); (b) usar esse resultado para determinar a transformada de Fourier de \sin\!\left(\omega_{0} t\right).\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i)}\quad f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} e^{j n \omega_{0} t}, \qquad \text{(ii)}\quad \text{queremos } \mathcal{F}\{f(t)\} \text{ e, em seguida, } \mathcal{F}\{\sin(\omega_0 t)\}.

Passo 2

Recordando a definição da transformada de Fourier (usada aqui no convensional fator 2\pi na relação com o impulso), para uma função g(t) temos
\mathcal{F}\{g(t)\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\,e^{-j\omega t}\,dt.
A transformada é linear, isto é, \mathcal{F}\{a\,g_1(t)+b\,g_2(t)\}=a\,\mathcal{F}\{g_1\}+b\,\mathcal{F}\{g_2\}. Vamos aplicar essa definição a f(t).

Passo 3

Substituo a série de Fourier de f(t) na definição da transformada e, assumindo que podemos trocar soma e integral (hipótese padrão para séries de Fourier tratadas como distribuições), obtenho
\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{j n \omega_0 t}\right) e^{-j\omega t}\,dt = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega - n\omega_0)t}\,dt.

Passo 4

Agora preciso avaliar a integral
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega - n\omega_0)t}\,dt.
Esta integral, entendida no sentido de distribuições, é a representação do impulso de Dirac em frequência. Uma forma habitual de ver isso: a transformada de Fourier de e^{j a t} é 2\pi \delta(\omega-a). Portanto, trocando a=n\omega_0, obtemos
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega - n\omega_0)t}\,dt = 2\pi \,\delta(\omega - n\omega_0).
(Interpretação rápida: a integral de uma exponencial complexa pura sobre toda a reta não converge como função, mas converge no sentido de distribuições para um impulso localizado em \omega=n\omega_0.)

Passo 5

Substituindo o resultado da integral na soma do Passo 3, obtemos a expressão desejada para a transformada de f(t):
\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \; 2\pi \,\delta(\omega - n\omega_0).
Ou escrevendo de forma mais compacta:
\boxed{\displaystyle \mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\,\delta(\omega-n\omega_0).}
Interpretação física: um sinal periódico tem espectro apenas em linhas (impulsos) nos harmônicos n\omega_0, com amplitudes proporcionais aos coeficientes F_n.

Passo 6

Agora aplico esse resultado a \sin(\omega_0 t). Primeiro escrevo \sin em termos de exponenciais complexas (fórmula de Euler):
\sin(\omega_0 t)=\frac{e^{j\omega_0 t}-e^{-j\omega_0 t}}{2j}.
Logo, na forma de série de Fourier tipo \sum F_n e^{j n\omega_0 t} só há dois harmônicos não nulos:
F_{1}=\frac{1}{2j},\qquad F_{-1}=-\frac{1}{2j},
e F_n=0 para n\neq \pm 1.

Passo 7

Usando a fórmula geral do Passo 5, a transformada de \sin(\omega_0 t) é
\mathcal{F}\{\sin(\omega_0 t)\}(\omega) =2\pi\Big(F_{1}\delta(\omega-\omega_0)+F_{-1}\delta(\omega+\omega_0)\Big).
Substituindo F_{1} e F_{-1}:
\mathcal{F}\{\sin(\omega_0 t)\}(\omega) =2\pi\left(\frac{1}{2j}\delta(\omega-\omega_0)-\frac{1}{2j}\delta(\omega+\omega_0)\right).
Simplificando (observando que 1/j=-j):
\mathcal{F}\{\sin(\omega_0 t)\}(\omega) =\frac{\pi}{j}\big(\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)\big) = j\pi\big(\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)\big).

Resposta

\mathcal{F}\{f(t)\}(\omega)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_{n}\,\delta(\omega-n\omega_{0})
\mathcal{F}\{\sin(\omega_{0}t)\}(\omega)=\frac{\pi}{j}\big(\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})\big)

Exercícios relacionados