(2,0 pontos) Calcule a transformada da função periódica
Use o resultado obtido para determinar a transformada de Fourier de
.
Passo 1
O enunciado dá a função periódica
e pede duas coisas: (a) calcular a transformada de Fourier de
(ou seja, encontrar
); (b) usar esse resultado para determinar a transformada de Fourier de
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Recordando a definição da transformada de Fourier (usada aqui no convensional fator
na relação com o impulso), para uma função
temos
A transformada é linear, isto é,
. Vamos aplicar essa definição a
.
Passo 3
Substituo a série de Fourier de
na definição da transformada e, assumindo que podemos trocar soma e integral (hipótese padrão para séries de Fourier tratadas como distribuições), obtenho
Passo 4
Agora preciso avaliar a integral
Esta integral, entendida no sentido de distribuições, é a representação do impulso de Dirac em frequência. Uma forma habitual de ver isso: a transformada de Fourier de
é
. Portanto, trocando
, obtemos
(Interpretação rápida: a integral de uma exponencial complexa pura sobre toda a reta não converge como função, mas converge no sentido de distribuições para um impulso localizado em
.)
Passo 5
Substituindo o resultado da integral na soma do Passo 3, obtemos a expressão desejada para a transformada de
:
Ou escrevendo de forma mais compacta:
Interpretação física: um sinal periódico tem espectro apenas em linhas (impulsos) nos harmônicos
, com amplitudes proporcionais aos coeficientes
.
Passo 6
Agora aplico esse resultado a
. Primeiro escrevo
em termos de exponenciais complexas (fórmula de Euler):
Logo, na forma de série de Fourier tipo
só há dois harmônicos não nulos:
e
para
.
Passo 7
Usando a fórmula geral do Passo 5, a transformada de
é
Substituindo
e
:
Simplificando (observando que
):