( 2,0 pontos) Um sinal AM-SC, dado por s(t)=m(t) \cos \left(\omega_{c} t+\varphi\right), é demodulado sincronamente a partir de uma portadora gerada localmente. Após o batimento com a portadora local, o sinal sofre uma filtragem passa-baixa. Calcule o sinal na saída do demodulador se a portadora gerada localmente apresentar erro de fase igual a \Delta \varphi. O que acontece quando \Delta \varphi=\pi / 2 ? Explique o resultado.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o sinal na saída do demodulador síncrono quando o oscilador local tiver um erro de fase igual a \Delta \varphi. Também pede para comentar o que ocorre no caso particular \Delta \varphi=\pi/2 e explicar o resultado.
Informações dadas:
  • O sinal modulado é s(t)=m(t)\cos\!\big(\omega_c t+\varphi\big).
  • A demodulação é síncrona: multiplica-se s(t) pela portadora gerada localmente e depois passa-se por um filtro passa-baixa (LPF).
  • A portadora local apresenta erro de fase \Delta \varphi em relação à portadora ideal.
    Não há números numéricos a avaliar; a tarefa é obter a expressão do sinal de saída em termos de m(t) e \Delta \varphi, e interpretar o caso \Delta \varphi=\pi/2.

Passo 2

Modelando a portadora local com erro de fase: se a portadora original em s(t) é \cos\!\big(\omega_c t+\varphi\big), a portadora local (com mesmo \omega_c mas fase deslocada) pode ser escrita como \cos\!\big(\omega_c t+\varphi+\Delta\varphi\big).
Na demodulação síncrona básica o multiplicador gera o produto
r(t)=s(t)\cdot \cos\!\big(\omega_c t+\varphi+\Delta\varphi\big).
Vou trabalhar esse produto e depois aplicar o efeito do LPF.

Passo 3

Escrevo explicitamente r(t):
r(t)=m(t)\cos\!\big(\omega_c t+\varphi\big)\cos\!\big(\omega_c t+\varphi+\Delta\varphi\big).
Agora uso a identidade trigonométrica fundamental
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)+\cos(A+B)\big),
onde A=\omega_c t+\varphi e B=\omega_c t+\varphi+\Delta\varphi.

Passo 4

Aplicando a identidade ao produto:
r(t)=\tfrac{1}{2}m(t)\Big(\cos\!\big((\omega_c t+\varphi)-(\omega_c t+\varphi+\Delta\varphi)\big) +\cos\!\big((\omega_c t+\varphi)+(\omega_c t+\varphi+\Delta\varphi)\big)\Big).
Simplificando os argumentos dos cossenos:
(\omega_c t+\varphi)-(\omega_c t+\varphi+\Delta\varphi)=-\Delta\varphi,
(\omega_c t+\varphi)+(\omega_c t+\varphi+\Delta\varphi)=2\omega_c t+2\varphi+\Delta\varphi.
Logo
r(t)=\tfrac{1}{2}m(t)\big(\cos(-\Delta\varphi)+\cos(2\omega_c t+2\varphi+\Delta\varphi)\big).

Passo 5

Uso que \cos é função par, isto é \cos(-\Delta\varphi)=\cos(\Delta\varphi). Assim
r(t)=\tfrac{1}{2}m(t)\big(\cos(\Delta\varphi)+\cos(2\omega_c t+2\varphi+\Delta\varphi)\big).
Interpretação dos termos:
  • O termo \tfrac{1}{2}m(t)\cos(\Delta\varphi) é um termo de baixa frequência (baseband), pois é m(t) multiplicado por uma constante.
  • O termo \tfrac{1}{2}m(t)\cos(2\omega_c t+\dots) contém oscilações em torno de 2\omega_c (componente de alta frequência, o dobro da portadora).

Passo 6

O filtro passa-baixa (LPF) do demodulador remove componentes em torno de 2\omega_c, ou seja, elimina o termo \tfrac{1}{2}m(t)\cos(2\omega_c t+\dots). Assim o sinal que permanece na saída do LPF é o termo de baixa frequência:
\text{(sinal de saída)}=\tfrac{1}{2}m(t)\cos(\Delta\varphi).í
(Obs.: se o multiplicador tiver ganho/normalização diferente, essa constante \tfrac{1}{2} pode mudar; a dependência em \cos(\Delta\varphi) é o ponto essencial.)

Passo 7

Interpretação física e consequências:
  • O fator \cos(\Delta\varphi) mostra que um erro de fase entre a portadora local e a portadora verdadeira reduz (ou inverte) a amplitude do sinal recuperado. Para pequenos \Delta\varphi o sinal é pouco atenuado porque \cos(\Delta\varphi)\approx 1-\tfrac{1}{2}\Delta\varphi^2.
  • Se \Delta\varphi=\pi então \cos(\Delta\varphi)=-1 e o sinal sai invertido (sinal multiplicado por -\tfrac{1}{2}).
  • Se \Delta\varphi=\pi/2 então \cos(\Delta\varphi)=0 e o termo de baixa frequência some: ou seja, a saída do demodulador é zero — a mensagem é perdida (nulificada). Vou explicar isso com mais intuição no próximo passo.

Passo 8

Explicação intuitiva para o caso \Delta\varphi=\pi/2:
Quando a portadora local está defasada de 90^\circ em relação à portadora real, ela é ortogonal à portadora de s(t). A multiplicação de duas cossenos ortogonais gera apenas componentes em alta frequência (não produz componente contínua/proporcional a m(t)). O LPF remove essas componentes altas, ficando nada na banda base. Em outras palavras, o demodulador síncrono extrai apenas a componente do sinal que está em fase com o oscilador local; se estiver em quadratura ( 90^\circ), não há componente em fase a ser extraída e a mensagem some.
Isso mostra por que em receptores síncronos é essencial recuperar a fase correta da portadora (por exemplo com um PLL) — um erro de fase de \pi/2 é catastrófico, anulando a recuperação.

Resposta

\displaystyle \text{Saída do demodulador}=\tfrac{1}{2}\,m(t)\cos(\Delta\varphi)í
\displaystyle \text{Para }\Delta\varphi=\pi/2\text{, a saída é }0íé

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