( 2,0 pontos) Um sinal AM-SC, dado por
, é demodulado sincronamente a partir de uma portadora gerada localmente. Após o batimento com a portadora local, o sinal sofre uma filtragem passa-baixa. Calcule o sinal na saída do demodulador se a portadora gerada localmente apresentar erro de fase igual a
. O que acontece quando
? Explique o resultado.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule o sinal na saída do demodulador síncrono quando o oscilador local tiver um erro de fase igual a
. Também pede para comentar o que ocorre no caso particular
e explicar o resultado.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O sinal modulado é
. - A demodulação é síncrona: multiplica-se
pela portadora gerada localmente e depois passa-se por um filtro passa-baixa (LPF). - A portadora local apresenta erro de fase
em relação à portadora ideal.
Não há números numéricos a avaliar; a tarefa é obter a expressão do sinal de saída em termos dee , e interpretar o caso .
Passo 2
Modelando a portadora local com erro de fase: se a portadora original em
é
, a portadora local (com mesmo
mas fase deslocada) pode ser escrita como
.
Na demodulação síncrona básica o multiplicador gera o produto
Na demodulação síncrona básica o multiplicador gera o produto
Vou trabalhar esse produto e depois aplicar o efeito do LPF.
Passo 3
Escrevo explicitamente
:
Agora uso a identidade trigonométrica fundamental
onde
e
.
Passo 4
Aplicando a identidade ao produto:
Simplificando os argumentos dos cossenos:
Logo
Passo 5
Uso que
é função par, isto é
. Assim
Interpretação dos termos:
- O termo
é um termo de baixa frequência (baseband), pois é multiplicado por uma constante. - O termo
contém oscilações em torno de (componente de alta frequência, o dobro da portadora).
Passo 6
O filtro passa-baixa (LPF) do demodulador remove componentes em torno de
, ou seja, elimina o termo
. Assim o sinal que permanece na saída do LPF é o termo de baixa frequência:
(Obs.: se o multiplicador tiver ganho/normalização diferente, essa constante
pode mudar; a dependência em
é o ponto essencial.)
Passo 7
Interpretação física e consequências:
- O fator
mostra que um erro de fase entre a portadora local e a portadora verdadeira reduz (ou inverte) a amplitude do sinal recuperado. Para pequenos o sinal é pouco atenuado porque . - Se
então e o sinal sai invertido (sinal multiplicado por ). - Se
então e o termo de baixa frequência some: ou seja, a saída do demodulador é zero — a mensagem é perdida (nulificada). Vou explicar isso com mais intuição no próximo passo.
Passo 8
Explicação intuitiva para o caso
:
Quando a portadora local está defasada de em relação à portadora real, ela é ortogonal à portadora de
. A multiplicação de duas cossenos ortogonais gera apenas componentes em alta frequência (não produz componente contínua/proporcional a
). O LPF remove essas componentes altas, ficando nada na banda base. Em outras palavras, o demodulador síncrono extrai apenas a componente do sinal que está em fase com o oscilador local; se estiver em quadratura (
), não há componente em fase a ser extraída e a mensagem some.
Isso mostra por que em receptores síncronos é essencial recuperar a fase correta da portadora (por exemplo com um PLL) — um erro de fase de é catastrófico, anulando a recuperação.
Quando a portadora local está defasada de
Isso mostra por que em receptores síncronos é essencial recuperar a fase correta da portadora (por exemplo com um PLL) — um erro de fase de