1. (2 pontos) Dados os vetores \vec{u}=(-2,2,-1) e \vec{v}=(1,-3,4), encontrar a projeção ortogonal de \vec{v} sobre \vec{u} e decompor \vec{v} como soma de \vec{v}_{1} com \vec{v}_{2}, sendo \vec{v}_{1} \| \vec{u} e \vec{v}_{2} \perp \vec{u}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec u = (-2,2,-1) e \vec v = (1,-3,4) e pede (a) a projeção ortogonal de \vec v sobre \vec u e (b) a decomposição \vec v = \vec v_1 + \vec v_2, com \vec v_1 paralelo a \vec u e \vec v_2 perpendicular a \vec u. Para isso vamos usar a fórmula da projeção:
\operatorname{proj}_{\vec u}\vec v = \frac{\vec v\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u}\,\vec u.

Passo 2

Calcular os produtos internos necessários. Temos
\vec v\cdot\vec u = (1)(-2)+(-3)(2)+(4)(-1) = -2 -6 -4 = -12,
\vec u\cdot\vec u = (-2)^2 + 2^2 + (-1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9.

Passo 3

Aplicando a fórmula da projeção:
\operatorname{proj}_{\vec u}\vec v = \frac{-12}{9}\,\vec u = -\frac{4}{3}\,(-2,2,-1) = \bigl(\tfrac{8}{3},-\tfrac{8}{3},\tfrac{4}{3}\bigr).
Esse é o vetor \vec v_1 paralelo a \vec u.

Passo 4

Agora a componente perpendicular \vec v_2 é dada por
\vec v_2 = \vec v - \vec v_1 = \Bigl(1,-3,4\Bigr) - \Bigl(\tfrac{8}{3},-\tfrac{8}{3},\tfrac{4}{3}\Bigr) = \Bigl(-\tfrac{5}{3},-\tfrac{1}{3},\tfrac{8}{3}\Bigr).
Para verificar que \vec v_2\perp\vec u, basta conferir
\vec u\cdot\vec v_2 = (-2)\Bigl(-\tfrac{5}{3}\Bigr) + 2\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr) + (-1)\Bigl(\tfrac{8}{3}\Bigr) = \tfrac{10}{3} - \tfrac{2}{3} - \tfrac{8}{3} = 0.

Resposta

Projeção ortogonal de \vec v sobre \vec u:
\operatorname{proj}_{\vec u}\vec v = \bigl(\tfrac{8}{3},-\tfrac{8}{3},\tfrac{4}{3}\bigr).
Decomposição \vec v = \vec v_1 + \vec v_2 com
\vec v_1 = \bigl(\tfrac{8}{3},-\tfrac{8}{3},\tfrac{4}{3}\bigr), \quad \vec v_2 = \bigl(-\tfrac{5}{3},-\tfrac{1}{3},\tfrac{8}{3}\bigr).

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