( 5 pontos) Calcule o valor da velocidade de um satélite artificial da Terra, supondo que ele se encontra em uma órbita à altura h de 230 Km acima da superfície da Terra, onde \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Considere o raio da Terra R igual a 6370 Km .

Passo 1

O satélite está a uma altura h acima da superfície da Terra, de modo que seu raio de órbita é R+h. Queremos a velocidade orbital v tal que a aceleração centrípeta
a_c = \frac{v^2}{R + h}
se iguale à aceleração gravitacional no ponto da órbita.

Passo 2

A aceleração gravitacional a uma distância r do centro da Terra vale
g(r)=g\;\frac{R^2}{r^2},
onde g é a gravidade ao nível do mar em r=R. Aqui r=R+h, então
g(R+h)=g\;\frac{R^2}{(R+h)^2}.
Equilibrando a_c=g(R+h) obtemos
\frac{v^2}{R+h} = g\;\frac{R^2}{(R+h)^2} \quad\Longrightarrow\quad v^2 = g\,\frac{R^2}{R+h}.

Passo 3

Convertendo para o SI:
R = 6370\;\text{km}=6{,}37\times10^6\;\mathrm{m}, \quad h = 230\;\text{km}=2{,}30\times10^5\;\mathrm{m}, \quad g = 9{,}8\;\mathrm{m/s^2}.
Substituindo em
v^2 = 9{,}8\;\frac{(6{,}37\times10^6)^2}{6{,}37\times10^6 + 2{,}30\times10^5},
obtém-se o valor de v^2.

Passo 4

Calculando numericamente:
v^2 \approx 9{,}8\;\frac{(6{,}37\times10^6)^2}{6{,}60\times10^6} \approx 6{,}02\times10^7\quad\Longrightarrow\quad v \approx \sqrt{6{,}02\times10^7}\approx 7{,}76\times10^3\;\mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade do satélite é aproximadamente
v \approx 7{,}76\times10^3\;\mathrm{m/s}\quad(\text{cerca de }7{,}76\;\mathrm{km/s}).

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