( 10 pontos) Um meteorito entra verticalmente na atmosfera terrestre e passa a “cair” em direção ao centro da Terra com a aceleração variável:
a=k g t^{1 / 2},
onde k=1 s^{-1 / 2} e g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Calcule a função velocidade instantânea e seu valor após os 100 primeiros segundos de queda ao entrar na atmosfera. Considere para t=0 \mathrm{~s}, instante que entra na atmosfera, V_{0}=10 \mathrm{Km} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado diz que um meteorito entra na atmosfera com velocidade inicial \,V_{0}=10 km/s e sofre aceleração variável
a(t)=k\,g\,t^{1/2},
com k=1 s ^{-1/2} e g=9{,}8 m/s ^2. Queremos achar a função velocidade v(t) e seu valor em t=100 s. Para isso usaremos a relação
a(t)=\frac{dv}{dt},
e integraremos em função do tempo.

Passo 2

Como \,a(t)=dv/dt, podemos escrever
\frac{dv}{dt}=k\,g\,t^{1/2}.
Integramos ambos os lados em [0,t], sabendo que em t=0 vale v(0)=V_{0}.

Passo 3

A integral da aceleração é
\int_{0}^{t}\!dv \;=\;\int_{0}^{t}k\,g\,\tau^{1/2}\,d\tau \;\Longrightarrow\; v(t)-v(0)=k\,g\int_{0}^{t}\tau^{1/2}d\tau.
Como
\int_{0}^{t}\tau^{1/2}d\tau=\frac{2}{3}\,t^{3/2},
temos
v(t)=v(0)+k\,g\;\frac{2}{3}\,t^{3/2}.

Passo 4

Para ficar tudo em unidades SI, convertamos V_{0}=10 km/s em m/s:
v(0)=10\times10^{3}=10{,}000\text{ m/s}.
Substituindo k=1 e g=9{,}8, a função velocidade é
v(t)=10\,000+\frac{2}{3}\times9{,}8\;t^{3/2} \quad\bigl[\text{m/s}\bigr].

Passo 5

Em t=100 s, temos t^{3/2}=100^{1,5}=1000. Logo
v(100)=10\,000+\frac{2}{3}\times9{,}8\times1000 =10\,000+6{,}533{,}33 =16\,533{,}33\;\text{m/s}\approx16{,}53\;\text{km/s}.

Resposta

A função velocidade é
v(t)=10\,000+\frac{2}{3}\times9{,}8\;t^{3/2} \quad[\text{m/s}],
e após 100 s de queda vale
v(100)\approx16\,533{,}33\;\text{m/s}\\ (\approx16{,}53\;\text{km/s}).

Exercícios relacionados