Questão 2

Um pequeno bloco está preso a uma mola ideal e movese em MHS sobre uma superficie horizontal sem atrito.
Quando a amplitude do movimento é 0,090 \mathrm{~m}, o bloco leva 2,70 \mathrm{~s} para passar de x=0,090 \mathrm{~m} para x=-0,090 m . Se a amplitude for alterada para 0,120 \mathrm{~m}, quanto tempo levará para o bloco passar
a) de x=0,120 \mathrm{~m} para x=-0,120 \mathrm{~m};
b) de x=0,090 \mathrm{~m} para x=-0,090 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado descreve um bloco em movimento harmônico simples (MHS) preso a uma mola ideal sobre superfície sem atrito. Quando a amplitude é 0,090\\ \mathrm m, o tempo para ir de x=+0,090\\ \mathrm m a x=-0,090\\ \mathrm m é 2,70\\ \mathrm s. Como ir de amplitude positiva a negativa é meia oscilação, identificamos que
\frac{T}{2} = 2{,}70\\ \mathrm s,
onde T é o período, e na teoria do MHS temos
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), \quad T=\frac{2\pi}{\omega}.

Passo 2

Da relação \tfrac{T}{2}=2{,}70\\ \mathrm s segue
T = 2 \times 2{,}70 = 5{,}40\\ \mathrm s
e portanto
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{5{,}40}\\ \mathrm{rad/s}\approx1{,}1636\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

(a) Se aumentamos a amplitude para A=0,120\\ \mathrm m, a mola e a massa não mudam, logo \omega e T permanecem os mesmos. O tempo para ir de x=+A a x=-A continua sendo meia oscilação, ou seja,
\Delta t_a = \frac{T}{2} = 2{,}70\\ \mathrm s.

Passo 4

(b) Agora queremos o tempo para ir de x=+0,090\\ \mathrm m a x=-0,090\\ \mathrm m quando A=0,120\\ \mathrm m. Assumindo que em t=0 o bloco está em x=+A, usamos
x(t)=A\cos(\omega t).
Definimos a razão
\frac{x}{A}=\frac{0,090}{0,120}=0{,}75
e chamamos
\theta = \operatorname{arccos}(0{,}75)\approx0{,}7227\\ \mathrm{rad}.
O instante em que passa por x=+0,090\\ \mathrm m descendo é
t_1 = \frac{\theta}{\omega},
e para x=-0,090\\ \mathrm m (onde \cos(\omega t_2)=-0{,}75) o menor t_2>t_1 satisfaz
\omega t_2 = \pi - \theta \quad\Longrightarrow\quad t_2 = \frac{\pi - \theta}{\omega}.
A diferença é
\Delta t_b = t_2 - t_1 = \frac{\pi - \theta}{\omega} - \frac{\theta}{\omega} = \frac{\pi - 2\theta}{\omega}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
\pi - 2\theta \approx 3{,}1416 - 2\times0{,}7227 = 1{,}6962,
\Delta t_b = \frac{1{,}6962}{1{,}1636}\\ \mathrm s \approx 1{,}46\\ \mathrm s.

Resposta

(a) 2,70\\ \mathrm s
(b) 1,46\\ \mathrm s

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