[3,0 pontos] (1) Considere a função
, o ponto
e o vetor
.
(a) Ao sair do ponto
na direçāo de
aumenta ou diminui? Com que taxa?
(a) Ao sair do ponto
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = 2x^{3} + 2y^{3} - 3x^{2} + 3y^{2} -36x -36y +1 $. O ponto de interesse é $ P = (1, -1) $ e temos um vetor direção $ \vec{v} = \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{4}\right) $. A pergunta é: ao sair desse ponto $ P $ na direção do vetor $ \vec{v} $, a função $ f $ aumenta ou diminui? E qual é a taxa dessa variação?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e produto escalar. Precisamos calcular o gradiente da função $ f $ no ponto $ P $ e então fazer o produto escalar com o vetor direção $ \vec{v} $. Esse produto nos dirá se a função está aumentando ou diminuindo na direção dada e a taxa dessa mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente, denotado por $ \nabla f $, é um vetor que contém todas as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma de suas variáveis. Ele aponta na direção de maior aumento da função.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) $:
Passo 3
Agora, precisamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ P = (1, -1) $.
Vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em $ x = 1 $:
E $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em $ y = -1 $:
Então, o gradiente de $ f $ no ponto $ P $ é:
Passo 4
Agora, vamos analisar o vetor direção $ \vec{v} = \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{4}\right) $. Para usar o gradiente, é importante que o vetor direção seja um vetor unitário, ou seja, tenha magnitude 1.
Vamos calcular a magnitude de $ \vec{v} $:
Como a magnitude não é 1, vamos transformar $ \vec{v} $ em um vetor unitário dividindo cada componente por $ \frac{5}{12} $:
Passo 5
Com o gradiente $ \nabla f(1, -1) = (-36, -36) $ e o vetor direção unitário $ \vec{u} = \left( -\frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right) $, vamos calcular o produto escalar entre eles para encontrar a taxa de variação de $ f $ na direção de $ \vec{v} $.
O produto escalar é dado por:
Resposta
Ao sair do ponto $ P $ na direção de $ \vec{v} $, a função $ f $ está aumentando com uma taxa de $ 7,2 $.