- (2.0 pontos) Um disco de raio
é disposto sobre o plano
. Ele tem distribuído sobre si uma carga
de maneira uniforme.
(a) Determine o vetor campo elétrico em um ponto
que dista
da origem e está sobre o eixo
;
(b) Com a intenção de dividir pela metade o campo elétrico no mesmo ponto
um engenheiro propõe fazer uma cavidade de raio
concêntrica com o disco e carregá-lo agora com metade da carga inicial, ou seja,
. A ideia dele é bem sucedida? Mostre com cálculos.
(a) Determine o vetor campo elétrico em um ponto
(b) Com a intenção de dividir pela metade o campo elétrico no mesmo ponto
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Um disco de raio
está no plano (ou seja, no plano ). - A carga total distribuída uniformemente sobre o disco é
. - O ponto
está sobre o eixo a uma distância da origem (ou seja, tem coordenada ).
- Um disco de raio
- O que o enunciado pede:
- (a) Determinar o vetor campo elétrico
em . - (b) Um engenheiro propõe fazer uma cavidade circular concêntrica de raio
e passar a carregar o restante (o anel) com carga total . Pergunta-se se essa mudança faz com que o campo em fique reduzido à metade do valor original. Mostrar por cálculos se a ideia funciona.
- (a) Determinar o vetor campo elétrico
Passo 2
Vamos calcular o campo no ponto
devido ao disco uniforme por decomposição em anéis concêntricos (método do anel). Antes de integrar, precisamos relacionar a densidade superficial de carga e escrever a contribuição de um anel.
- Densidade superficial inicial do disco:
Expliquei:
é carga por unidade de área; a área de um disco de raio
é
.
Passo 3
Campo produzido por um anel fino de raio
, espessura
, e carga
.
- Carga do anel: a área do anel é
, então
- Campo no eixo devido a esse anel (direção
). Pela lei de Coulomb para um anel simétrico, a componente axial é
Explicando: cada elemento do anel tem uma componente axial
; somando simetricamente sobra só a componente ao longo de
.
- Substituindo
:
Passo 4
Integrar sobre
de
até
para obter
total do disco. Montamos a integral e a resolvemos passo a passo.
- Integral:
- Para resolver a integral, faça a substituição
, então , logo . Os limites: quando , ; quando , . - Assim a integral vira
- Calcule a primitiva:
. Portanto
- Substituindo de volta em
:
Passo 5
Expressar
em termos de
. Substitua
:
- Direção: para
(acima do plano), o campo aponta no sentido (afastando-se do disco) se a carga for positiva; portanto o vetor campo é
Passo 6
Agora a parte (b): analisar o anel com cavidade concêntrica de raio
, carregado com carga total
distribuída uniformemente sobre a região entre
e
.
- Área do anel (região remanescente):
- Densidade superficial do anel:
Passo 7
Obter o campo no eixo devido ao anel (por superposição: campo do disco de raio
com densidade
menos o campo do disco interno de raio
com mesma densidade).
- Campo de um disco de raio
com densidade no ponto é
- Logo o campo do anel (outer
menos inner ) é
- Substituindo
:
- Vetor campo no ponto
devido ao anel:
Passo 8
Comparar
com metade do campo original
.
- Metade do campo original é
-
As duas expressões dependem de
de formas diferentes. Para ver que a proposta do engenheiro NÃO funciona em geral, basta um contra-exemplo simples: - No caso
(ponto no próprio plano do disco, sobre o eixo): - Campo original:
- Metade desse valor:
- Campo do anel (substitua
na expressão):
Ou, equivalentemente, notar que no ponto cada disco pleno (interno e externo) com a mesma densidade dá , então suas contribuições se cancelam, ficando zero para o anel. Logo . - Portanto a ideia do engenheiro falha já nesse caso concreto.
- No caso
-
Observação adicional (útil para intuição): para
(ponto muito longe), tanto o disco original quanto o anel se comportam como cargas pontuais de magnitudes e respectivamente, então assintoticamente o campo do anel tende a metade do campo do disco. Portanto a proposta funciona apenas na região muito distante, mas não em geral.
Resposta
(a)
(b) Não. Para o anel com carga total
uniformemente distribuída entre
e
obtém-se
que em geral não é igual a
(por exemplo, para
tem
enquanto
).