1. (2.0 pontos) Um disco de raio 2 R é disposto sobre o plano x y. Ele tem distribuído sobre si uma carga Q de maneira uniforme.
    (a) Determine o vetor campo elétrico em um ponto P que dista d da origem e está sobre o eixo z;
    (b) Com a intenção de dividir pela metade o campo elétrico no mesmo ponto P um engenheiro propõe fazer uma cavidade de raio R concêntrica com o disco e carregá-lo agora com metade da carga inicial, ou seja, Q / 2. A ideia dele é bem sucedida? Mostre com cálculos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Um disco de raio 2R está no plano xy (ou seja, no plano z=0).
    • A carga total distribuída uniformemente sobre o disco é Q.
    • O ponto P está sobre o eixo z a uma distância d da origem (ou seja, P tem coordenada (0,0,d)).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determinar o vetor campo elétrico \vec{E} em P.
    • (b) Um engenheiro propõe fazer uma cavidade circular concêntrica de raio R e passar a carregar o restante (o anel) com carga total Q/2. Pergunta-se se essa mudança faz com que o campo em P fique reduzido à metade do valor original. Mostrar por cálculos se a ideia funciona.

Passo 2

Vamos calcular o campo no ponto P devido ao disco uniforme por decomposição em anéis concêntricos (método do anel). Antes de integrar, precisamos relacionar a densidade superficial de carga e escrever a contribuição de um anel.
  • Densidade superficial inicial do disco:
\sigma = \frac{Q}{\text{área do disco}} = \frac{Q}{\pi(2R)^2} = \frac{Q}{4\pi R^2}.á
Expliquei: \sigma é carga por unidade de área; a área de um disco de raio a é \pi a^2.

Passo 3

Campo produzido por um anel fino de raio r, espessura dr, e carga dQ.
  • Carga do anel: a área do anel é 2\pi r\,dr, então
dQ = \sigma \, 2\pi r\,dr.
  • Campo no eixo devido a esse anel (direção \hat{z}). Pela lei de Coulomb para um anel simétrico, a componente axial é
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{dQ\cdot d}{\left(d^2+r^2\right)^{3/2}}.
Explicando: cada elemento do anel tem uma componente axial \propto d/(d^2+r^2)^{3/2}; somando simetricamente sobra só a componente ao longo de \hat z.
  • Substituindo dQ:
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\sigma\,2\pi r\,dr \cdot d}{\left(d^2+r^2\right)^{3/2}} = \frac{\sigma d}{2\varepsilon_0}\,\frac{r\,dr}{\left(d^2+r^2\right)^{3/2}}.

Passo 4

Integrar sobre r de 0 até 2R para obter E_z total do disco. Montamos a integral e a resolvemos passo a passo.
  • Integral:
E_z = \frac{\sigma d}{2\varepsilon_0}\int_{0}^{2R}\frac{r\,dr}{\left(d^2+r^2\right)^{3/2}}.
  • Para resolver a integral, faça a substituição u = d^2 + r^2, então du = 2r\,dr, logo r\,dr = \tfrac{1}{2}\,du. Os limites: quando r=0, u=d^2; quando r=2R, u=d^2+4R^2.
  • Assim a integral vira
\int_{0}^{2R}\frac{r\,dr}{(d^2+r^2)^{3/2}} = \frac{1}{2}\int_{d^2}^{d^2+4R^2} u^{-3/2}\,du.
  • Calcule a primitiva: \displaystyle \int u^{-3/2}\,du = -2 u^{-1/2}. Portanto
\frac{1}{2}\left[-2u^{-1/2}\right]_{d^2}^{d^2+4R^2} = -\left[(d^2+4R^2)^{-1/2} - (d^2)^{-1/2}\right] = \frac{1}{d} - \frac{1}{\sqrt{d^2+4R^2}}.
  • Substituindo de volta em E_z:
E_z = \frac{\sigma d}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{d} - \frac{1}{\sqrt{d^2+4R^2}}\right) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{d}{\sqrt{d^2+4R^2}}\right).

Passo 5

Expressar E_z em termos de Q. Substitua \sigma = \dfrac{Q}{4\pi R^2}:
E_z = \frac{1}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{4\pi R^2}\left(1 - \frac{d}{\sqrt{d^2+4R^2}}\right) = \frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R^2}\left(1 - \frac{d}{\sqrt{d^2+4R^2}}\right).
  • Direção: para d>0 (acima do plano), o campo aponta no sentido +\hat z (afastando-se do disco) se a carga Q for positiva; portanto o vetor campo é
\vec{E}(P)=E_z\,\hat{z} = \frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R^2}\left(1 - \frac{d}{\sqrt{d^2+4R^2}}\right)\hat{z}.

Passo 6

Agora a parte (b): analisar o anel com cavidade concêntrica de raio R, carregado com carga total Q/2 distribuída uniformemente sobre a região entre r=R e r=2R.
  • Área do anel (região remanescente):
A_{\text{anel}} = \pi\left((2R)^2 - R^2\right) = \pi(4R^2 - R^2) = 3\pi R^2.
  • Densidade superficial do anel:
\sigma_{\text{anel}} = \frac{Q/2}{A_{\text{anel}}} = \frac{Q/2}{3\pi R^2} = \frac{Q}{6\pi R^2}.

Passo 7

Obter o campo no eixo devido ao anel (por superposição: campo do disco de raio 2R com densidade \sigma_{\text{anel}} menos o campo do disco interno de raio R com mesma densidade).
  • Campo de um disco de raio a com densidade \sigma_{\text{anel}} no ponto P é
E_z(a)=\frac{\sigma_{\text{anel}}}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{d}{\sqrt{d^2+a^2}}\right).
  • Logo o campo do anel (outer a=2R menos inner a=R) é
E_{z,\text{anel}} = \frac{\sigma_{\text{anel}}}{2\varepsilon_0}\left[\left(1 - \frac{d}{\sqrt{d^2+4R^2}}\right) - \left(1 - \frac{d}{\sqrt{d^2+R^2}}\right)\right] = \frac{\sigma_{\text{anel}} d}{2\varepsilon_0}\left(\frac{1}{\sqrt{d^2+R^2}} - \frac{1}{\sqrt{d^2+4R^2}}\right).
  • Substituindo \sigma_{\text{anel}} = \dfrac{Q}{6\pi R^2}:
E_{z,\text{anel}} = \frac{Q d}{12\pi\varepsilon_0 R^2}\left(\frac{1}{\sqrt{d^2+R^2}} - \frac{1}{\sqrt{d^2+4R^2}}\right).
  • Vetor campo no ponto P devido ao anel:
\vec{E}_{\text{anel}}(P)=E_{z,\text{anel}}\,\hat{z}.

Passo 8

Comparar \vec{E}_{\text{anel}}(P) com metade do campo original \tfrac{1}{2}\vec{E}_{\text{disco}}(P).
  • Metade do campo original é
\frac{1}{2}E_z^{\text{(disco)}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R^2}\left(1 - \frac{d}{\sqrt{d^2+4R^2}}\right) = \frac{Q}{16\pi\varepsilon_0 R^2}\left(1 - \frac{d}{\sqrt{d^2+4R^2}}\right).
  • As duas expressões dependem de d de formas diferentes. Para ver que a proposta do engenheiro NÃO funciona em geral, basta um contra-exemplo simples:
    • No caso d=0 (ponto P no próprio plano do disco, sobre o eixo):
      • Campo original:
      E_z^{\text{(disco)}}(0) = \frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R^2}\left(1 - 0\right) = \frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R^2}.
      • Metade desse valor:
      \frac{1}{2}E_z^{\text{(disco)}}(0) = \frac{Q}{16\pi\varepsilon_0 R^2}.
      • Campo do anel (substitua d=0 na expressão):
      E_{z,\text{anel}}(0) = \frac{Q\cdot 0}{12\pi\varepsilon_0 R^2}\left(\cdots\right) = 0.Ou, equivalentemente, notar que no ponto d=0 cada disco pleno (interno e externo) com a mesma densidade dá \sigma_{\text{anel}}/(2\varepsilon_0), então suas contribuições se cancelam, ficando zero para o anel. Logo E_{z,\text{anel}}(0)=0\neq \tfrac{1}{2}E_z^{\text{(disco)}}(0).
    • Portanto a ideia do engenheiro falha já nesse caso concreto.
  • Observação adicional (útil para intuição): para d\to\infty (ponto muito longe), tanto o disco original quanto o anel se comportam como cargas pontuais de magnitudes Q e Q/2 respectivamente, então assintoticamente o campo do anel tende a metade do campo do disco. Portanto a proposta funciona apenas na região muito distante, mas não em geral.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{E}(P)=\frac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R^2}\left(1-\frac{d}{\sqrt{d^2+4R^2}}\right)\hat{z}.
(b) Não. Para o anel com carga total Q/2 uniformemente distribuída entre r=R e r=2R obtém-se
\displaystyle \vec{E}_{\text{anel}}(P)=\frac{Q d}{12\pi\varepsilon_0 R^2}\left(\frac{1}{\sqrt{d^2+R^2}}-\frac{1}{\sqrt{d^2+4R^2}}\right)\hat{z},
que em geral não é igual a \tfrac{1}{2}\vec{E}(P) (por exemplo, para d=0 tem \vec{E}_{\text{anel}}(0)=0 enquanto \tfrac{1}{2}\vec{E}(0)=\dfrac{Q}{16\pi\varepsilon_0 R^2}\neq 0).

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