1. (2.5 pontos)
Um capacitor de placas planas e paralelas (área A e separação d ) é carregado até atingir uma diferença de potencial V e uma carga q. Uma placa dielétrica, de constante \kappa e espessura b, é introduzida entre as placas do capacitor, conforme a figura. Encontre:
(a) ( 0.5 pontos) O campo elétrico no espaço vazio situado entre as placas do capacitor e a placa do dielétrico.

Passo 1

O enunciado pede explicitamente: encontrar o campo elétrico no espaço vazio situado entre as placas do capacitor e a placa do dielétrico (ou seja, no(s) intervalo(s) de vácuo entre a placa metálica e a superfície do dielétrico).
Informações dadas (tiradas do enunciado / figura):
  • As placas metálicas são planas, paralelas, área A e separação total d.
  • O capacitor foi carregado de modo que a carga em uma placa é q (a outra placa tem -q) e a diferença de potencial inicial era V.
  • Uma lâmina dielétrica de constante dielétrica \kappa e espessura b é introduzida entre as placas (isto deixa uma região de vácuo entre a lâmina e a(s) placa(s), cujo(s) espessura(s) total(is) somam d-b).
  • Pede-se o campo elétrico no espaço vazio entre as placas do capacitor e a placa do dielétrico.
Observação importante sobre o cenário físico (decisão que afeta a resolução, sem perguntar ao enunciador): como o enunciado diz que o capacitor foi “carregado até atingir … q” e só então a lâmina foi introduzida, adoto a hipótese usual para esse tipo de questão: o capacitor está isolado e a carga total q nas placas permanece fixa durante a inserção do dielétrico. (Se o capacitor estivesse mantido por uma bateria, a situação seria diferente: V permaneceria constante e q mudaria.)

Passo 2

Primeira ideia física e definição de grandezas básicas (aula rápida).
  • Em placas paralelas com simetria plana, o campo elétrico entre as placas é uniforme em cada região plana (vácuo e dielétrico), apontando de + para -.
  • Defino a densidade de carga livre sobre a face da placa metálica como \sigma. Como a carga total na placa é q e a área é A,
\sigma=\frac{q}{A}.
  • Em meios lineares isotrópicos usa-se o vetor deslocamento elétrico \mathbf{D}. Para uma interface plana e na ausência de cargas livres além das placas, a componente normal de \mathbf{D} é contínua atravessando as camadas internas (não há carga livre adicional nas superfícies internas do dielétrico). Para geometria plana e estática vale, entre as placas,
D=\sigma,
onde escrevo D para a magnitude da componente normal de \mathbf{D}.
Explicação rápida do conceito de \mathbf{D}: \mathbf{D} incorpora a resposta do material; em vácuo \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}, no dielétrico linear homogêneo \mathbf{D}=\varepsilon_0\kappa\mathbf{E}. A conservação de D (na ausência de cargas livres adicionais) é uma forma conveniente de aplicar a Lei de Gauss quando há camadas materiais.

Passo 3

Aplicando as relações constitutivas nas duas regiões (vácuo e dielétrico).
  • Na região de vácuo (entre placa metálica e superfície do dielétrico), a relação entre D e E é
D=\varepsilon_0 E_{\text{vácuo}}.á
  • No dielétrico,
D=\varepsilon_0 \kappa E_{\text{diel}}.
Como a componente normal de \mathbf{D} é a mesma nas duas regiões (não há carga livre na superfície interna do dielétrico),
\varepsilon_0 E_{\text{vácuo}}=\varepsilon_0\kappa E_{\text{diel}}=\sigma.á

Passo 4

Isolando o campo na região de vácuo e interpretando o resultado.
  • Da igualdade \varepsilon_0 E_{\text{vácuo}}=\sigmaá segue imediatamente
E_{\text{vácuo}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.á
  • Substituindo \sigma=\dfrac{q}{A} obtemos a expressão em termos dos dados do enunciado:
E_{\text{vácuo}}=\frac{q}{A\,\varepsilon_0}.á
  • Direção: o vetor campo aponta da placa que está com carga positiva para a placa que está com carga negativa (ou seja, do potencial mais alto para o mais baixo).
Comentário didático extra (opcional para fixar a ideia): no dielétrico o campo é menor,
E_{\text{diel}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0\kappa}=\frac{E_{\text{vácuo}}}{\kappa},á
o que mostra que a polarização do dielétrico reduz o campo dentro dele. A presença do dielétrico produz cargas bound nas superfícies do dielétrico, mas isso não altera \sigma (a carga livre) sobre as placas metálicas quando o capacitor está isolado; apenas redistribui o campo entre as camadas.

Passo 5

Pequena verificação de consistência e alternativa (para a prova saber o que muda em outros vínculos):
  • Se o capacitor estivesse conectado a uma bateria que mantivesse V fixo, ao inserir o dielétrico a carga q não seria fixa e, portanto, o valor numérico de E_{\text{vácuo}}á seria diferente. Por isso é importante perceber que a hipótese de carga fixa foi usada para chegar em E_{\text{vácuo}}=\dfrac{q}{A\varepsilon_0}á.

Resposta

\displaystyle E_{\text{vácuo}}=\frac{q}{A\,\varepsilon_0}á (direcionado da placa positiva para a negativa).

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