- (2.5 pontos)
Um capacitor de placas planas e paralelas (área
e separação
) é carregado até atingir uma diferença de potencial
e uma carga
. Uma placa dielétrica, de constante
e espessura
, é introduzida entre as placas do capacitor, conforme a figura. Encontre:
(a) ( 0.5 pontos) O campo elétrico no espaço vazio situado entre as placas do capacitor e a placa do dielétrico.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente: encontrar o campo elétrico no espaço vazio situado entre as placas do capacitor e a placa do dielétrico (ou seja, no(s) intervalo(s) de vácuo entre a placa metálica e a superfície do dielétrico).
Informações dadas (tiradas do enunciado / figura):
- As placas metálicas são planas, paralelas, área
e separação total . - O capacitor foi carregado de modo que a carga em uma placa é
(a outra placa tem ) e a diferença de potencial inicial era . - Uma lâmina dielétrica de constante dielétrica
e espessura é introduzida entre as placas (isto deixa uma região de vácuo entre a lâmina e a(s) placa(s), cujo(s) espessura(s) total(is) somam ). - Pede-se o campo elétrico no espaço vazio entre as placas do capacitor e a placa do dielétrico.
Observação importante sobre o cenário físico (decisão que afeta a resolução, sem perguntar ao enunciador): como o enunciado diz que o capacitor foi “carregado até atingir …
” e só então a lâmina foi introduzida, adoto a hipótese usual para esse tipo de questão: o capacitor está isolado e a carga total
nas placas permanece fixa durante a inserção do dielétrico. (Se o capacitor estivesse mantido por uma bateria, a situação seria diferente:
permaneceria constante e
mudaria.)
Passo 2
Primeira ideia física e definição de grandezas básicas (aula rápida).
- Em placas paralelas com simetria plana, o campo elétrico entre as placas é uniforme em cada região plana (vácuo e dielétrico), apontando de
para . - Defino a densidade de carga livre sobre a face da placa metálica como
. Como a carga total na placa é e a área é ,
- Em meios lineares isotrópicos usa-se o vetor deslocamento elétrico
. Para uma interface plana e na ausência de cargas livres além das placas, a componente normal de é contínua atravessando as camadas internas (não há carga livre adicional nas superfícies internas do dielétrico). Para geometria plana e estática vale, entre as placas,
onde escrevo
para a magnitude da componente normal de
.
Explicação rápida do conceito de
:
incorpora a resposta do material; em vácuo
, no dielétrico linear homogêneo
. A conservação de
(na ausência de cargas livres adicionais) é uma forma conveniente de aplicar a Lei de Gauss quando há camadas materiais.
Passo 3
Aplicando as relações constitutivas nas duas regiões (vácuo e dielétrico).
- Na região de vácuo (entre placa metálica e superfície do dielétrico), a relação entre
e é
- No dielétrico,
Como a componente normal de
é a mesma nas duas regiões (não há carga livre na superfície interna do dielétrico),
Passo 4
Isolando o campo na região de vácuo e interpretando o resultado.
- Da igualdade
segue imediatamente
- Substituindo
obtemos a expressão em termos dos dados do enunciado:
- Direção: o vetor campo aponta da placa que está com carga positiva para a placa que está com carga negativa (ou seja, do potencial mais alto para o mais baixo).
Comentário didático extra (opcional para fixar a ideia): no dielétrico o campo é menor,
o que mostra que a polarização do dielétrico reduz o campo dentro dele. A presença do dielétrico produz cargas bound nas superfícies do dielétrico, mas isso não altera
(a carga livre) sobre as placas metálicas quando o capacitor está isolado; apenas redistribui o campo entre as camadas.
Passo 5
Pequena verificação de consistência e alternativa (para a prova saber o que muda em outros vínculos):
- Se o capacitor estivesse conectado a uma bateria que mantivesse
fixo, ao inserir o dielétrico a carga não seria fixa e, portanto, o valor numérico de seria diferente. Por isso é importante perceber que a hipótese de carga fixa foi usada para chegar em .