( 2 , 0 pontos) Por um cilindro de cobre escoa um fluido a 80^circ C que precisa ser resfriado por convecção com o ar exterior ( Tinfty=25^circ C, h= 25 W / m^2 cdot ^circ C ). Alguém tem a ideia “maluca” de colocar uma manta isolante sobre o tubo com o propósito de “acelerar” essa troca de calor. Sabendo que o cilindro possui raio externo re=25 mm e assumindo que não há variação de temperatura do centro do cilindro até a parede externa do tubo. Adote: k manta =1 W / m cdot ^circ C.
(a) Determine a espessura máxima do isolante que levaria à suposta máxima troca de calor.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de cobre com raio externo re=25 mm contendo um fluido a 80^circC, resfriado por convecção com o ar a Tinfty=25^circC e coeficiente convectivo h=25 W/m^2cdot^circC. Alguém quer pôr uma manta isolante (condutividade k=1 W/mcdot^circC) de raio externo r2 sobre o tubo, pensando em aumentar a troca de calor. O objetivo é achar a espessura de<a=r2-re que maximiza o fluxo de calor. O conteúdo é “resistências térmicas em série” (condução cilíndrica + convecção externa) e otimização de Q.

Passo 2

Escrevemos as resistências por unidade de comprimento (ou seja, com L=1 m).
A resistência por condução no isolante, entre r=re e r=r2, é
Rcond'=lnl(r2/rer)2pi,k,
A resistência por convecção na face externa r=r2 é
Rconv'=1h,2pi,r2,

Passo 3

A De<aT entre o fluido e o ar é De<a T=80-25=55 ^circC. O fluxo de calor por comprimento é
q'=De<a TRtotal' com Rtotal'=Rcond'+Rconv' =ln(r2/re)2pi,k+1h,2pi,r2

Passo 4

Para “acelerar” (maximizar) q' basta minimizar Rtotal' em relação a r2. Derivando e igualando zero:
dRtotal'dr2 =12pi,k,1r2 -1h,2pi,1r2^2 =0
Isolando termos:
1k,r2=1h,r2^2 ;Longrightarrow; r2=kh

Passo 5

Substituindo k=1 W/mcdot^circC e h=25 W/m^2cdot^circC:
r2=125=0,04 m=40 mm
Logo a espessura ótima é
de<a=r2-re=40 mm-25 mm=15 mm

Resposta

A espessura máxima do isolante que leva à máxima troca de calor é boxed15 mm.

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