(
pontos) Por um cilindro de cobre escoa um fluido a
que precisa ser resfriado por convecção com o ar exterior (
). Alguém tem a ideia “maluca” de colocar uma manta isolante sobre o tubo com o propósito de “acelerar” essa troca de calor. Sabendo que o cilindro possui raio externo
e assumindo que não há variação de temperatura do centro do cilindro até a parede externa do tubo. Adote:
.
(a) Determine a espessura máxima do isolante que levaria à suposta máxima troca de calor.
(a) Determine a espessura máxima do isolante que levaria à suposta máxima troca de calor.
Passo 1
O enunciado descreve um cilindro de cobre com raio externo
contendo um fluido a
, resfriado por convecção com o ar a
e coeficiente convectivo
. Alguém quer pôr uma manta isolante (condutividade
) de raio externo
sobre o tubo, pensando em aumentar a troca de calor. O objetivo é achar a espessura
que maximiza o fluxo de calor. O conteúdo é “resistências térmicas em série” (condução cilíndrica
convecção externa) e otimização de
.
Passo 2
Escrevemos as resistências por unidade de comprimento (ou seja, com
).
A resistência por condução no isolante, entre e
, é
A resistência por condução no isolante, entre
A resistência por convecção na face externa
é
Passo 3
A
T entre o fluido e o ar é
. O fluxo de calor por comprimento é
Passo 4
Para “acelerar” (maximizar)
basta minimizar
em relação a
. Derivando e igualando zero:
Isolando termos:
Passo 5
Substituindo
e
:
Logo a espessura ótima é
Resposta
A espessura máxima do isolante que leva à máxima troca de calor é
.