1. ( 3,0 pontos) Classifique cada afirmação abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F). Assinale suas respostas ao lado dos itens. Cada respost a correta soma 0,2 ponto; cada resposta errada subtrai 0,2 ponto; respost as em branco são ignoradas, ou seja, não somam nem subtraem ponto.
    (a) Seja A uma matriz de ordem n \times m e B uma matriz de ordem m \times k. Então, (A B)^{T}=A^{T} B^{T}.
    (b) Sejam A e B duas matrizes invertíveis de ordem n \times n. Então, (A B)^{-1}=A^{-1} B^{-1}.
    (c) Seja A uma matriz quadrada invertível. Então, \left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1}.
    (d) Seja A uma matriz quadrada invertível. Então, \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=1 / \operatorname{det}\left(A^{T}\right).
    (e) Sejam A e B duas matrizes quadradas. Então, \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(B A).
    (f) Seja um sistema de equações lineares A x=\mathbf{b}_{\text {, }} onde A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 2 & 2 \\\\ 3 & 1\end{array}\right]. Esse sistema tem solução única para todo \mathbf{b}.
    (g) Sejam r um escalar e \mathbf{v} um vetor no \mathbb{R}^{n}. Então, \|r \mathbf{v}\|=r\|\mathbf{v}\|
    (h) Sejam \mathbf{u} e \mathbf{v} dois vetores do \mathbb{R}^{n}. Se \mathbf{u} e \mathbf{v} são perpendiculares, ent ão \|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|^{2}=\|\mathbf{u}\|^{2}-\|\mathbf{v}\|^{2}.
    (i) O produto de duas matrizes de permutação de mesma ordem é uma matriz de permutação.
    (j) Os vetores \mathbf{v}_{1}=(1,1,0), \mathbf{v}_{2}=(0,1,1) e \mathbf{v}_{3}=(1,2,1) formam uma base para o \mathbb{R}^{3}.
    (k) Um conjunto de vetores que gera o \mathbb{R}^{n} pode ter mais do que n elementos.
    (l) Se o número de equações em um sistema linear for maior do que o número de variáveis, então o sistema sempre terá no máximo uma solução.
    (m) Seja um sistema de equações lineares A x=\mathbf{b}, onde A=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 2 & 7 & 6 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]. Dependendo de \mathbf{b}_{\text {, }} esse sistema pode ter infinitas soluções.
    (n) Sejam A e B duas matrizes n \times n. Se A B=-B A, então \operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)=-\operatorname{det}(B) \operatorname{det}(A) para n ímpar.
    (o) Seja A uma matriz quadrada não-singular. Se invertermos a posição de duas de suas colunas, o sinal do seu determinante inverte.

Passo 1

O enunciado pede para classificar 15 afirmações como verdadeiras (V) ou falsas (F). Vamos usar propriedades de transposição, inversão e determinantes de matrizes, além de fatos sobre sistemas lineares, normas, vetores perpendiculares, permutações, geração de espaços vetoriais e efeitos de permutar colunas no determinante.

Passo 2

(a) A propriedade correta é (AB)^{T}=B^{T}A^{T}, não A^{T}B^{T}; logo (a) é falsa (F).
(b) O inverso de um produto satisfaz (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}; portanto (b) é falsa (F).
(c) É sempre verdade que \bigl(A^{-1}\bigr)^{T}=(A^{T})^{-1}; logo (c) é verdadeira (V).
(d) Como \det(A^{-1})=1/\det(A) e \det(A^{T})=\det(A), segue \det(A^{-1})=1/\det(A^{T}); assim (d) é verdadeira (V).
(e) Em geral \det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(B)\det(A)=\det(BA); portanto (e) é verdadeira (V).

Passo 3

(f) A matriz A é 3\times2, logo não é invertível e o sistema Ax=b não tem solução única para todo b; (f) é falsa (F).
(g) A norma satisfaz \|r\,v\|=|r|\,\|v\|, não r\|v\|; assim (g) é falsa (F).
(h) Se u\perp v, então \|u-v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2, não \|u\|^2-\|v\|^2; logo (h) é falsa (F).

Passo 4

(i) Matrizes de permutação formam um grupo sob produto, então o produto de duas delas é outra permutação; (i) é verdadeira (V).
(j) Os vetores (1,1,0),(0,1,1),(1,2,1) são linearmente dependentes (determinante zero), logo não formam base; (j) é falsa (F).
(k) Um conjunto gerador de \mathbb{R}^n pode ter mais de n vetores (haver redundância); (k) é verdadeira (V).
(l) Se há mais equações que variáveis, o sistema pode ter zero, uma ou infinitas soluções (caso de equações dependentes), então não é sempre “no máximo uma”; (l) é falsa (F).

Passo 5

(m) A matriz
A=\begin{pmatrix}1&4&3\\\ 2&7&6\\\ 0&1&0\end{pmatrix}
é singular \det A=0, de modo que, para certos b, há infinitas soluções; (m) é verdadeira (V).
(n) De AB=-BA segue \det(AB)=\det(-BA)=(-1)^n\det(BA), e como \det(AB)=\det(A)\det(B)=\det(BA), então \det(A)\det(B)=(-1)^n\det(A)\det(B). Para n ímpar, isso dá \det(A)\det(B)=-\det(A)\det(B), ou seja, \det(A)\det(B)=-\det(B)\det(A); (n) é verdadeira (V).
(o) Trocar duas colunas de uma matriz não-singular inverte o sinal do determinante; (o) é verdadeira (V).

Resposta

(a) F
(b) F
(c) V
(d) V
(e) V
(f) F
(g) F
(h) F
(i) V
(j) F
(k) V
(l) F
(m) V
(n) V
(o) V

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