1. (4,0 pontos) Considere a função f(x, y, z)=a x^{2}+a x y+2 x-y^{2}-3 y z+4 z^{2}-2 a z.
    (a) (1,0 ponto) Calcule as condições que determinam os pontos críticos de f(x, y, z).
    (b) ( 1,0 ponto) Qual condição deve ser imposta sobre a para que as condições que você encontrou no item (a) definam x, y e z como funções de a ?
    (c) (1,0 ponto) Qual condição deve ser imposta sobre a para que as condições que você encontrou no item (a) definam um ponto de máximo local estrito de f(x, y, z) ?
    (d) (1,0 ponto) Assumindo as condições encontradas nos itens anteriores, calcule o impacto de uma variação em a sobre x, y e z.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=a x^{2}+a x y+2 x-y^{2}-3 y z+4 z^{2}-2 a z
com parâmetro a. Pede:
– (a) condições para pontos críticos (gradiente nulo).
– (b) condição sobre a para que essas condições definam (x,y,z) como funções de a (isto é, sistema linear invertível).
– (c) condição sobre a para que seja ponto de máximo local estrito (Hessiana negativa definida).
– (d) supondo as condições anteriores, calcular o impacto de uma variação em a sobre x,y,z (derivadas \dfrac{dx}{da},\dfrac{dy}{da},\dfrac{dz}{da}).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f e igualamos a zero para obter o sistema de condições de ponto crítico.
\frac{\partial f}{\partial x}=2a\,x + a\,y +2=0,
\frac{\partial f}{\partial y}=a\,x -2\,y -3\,z=0,
\frac{\partial f}{\partial z}=-3\,y +8\,z -2a=0.
Em forma matricial M\,(x,y,z)^{T}=b, com
M=\begin{pmatrix} 2a & a & 0\\\ a & -2 & -3\\\\ 0 & -3 & 8 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 2a\end{pmatrix}
(devido ao sinal, mas a invertibilidade independe do b).

Passo 3

Para que haja solução única (x,y,z) em função de a, precisamos \det M\neq0.
Calculando
\det M =2a\det\begin{pmatrix}-2&-3\\\ -3&8\end{pmatrix}-a\det\begin{pmatrix}a&-3\\\ 0&8\end{pmatrix} =-a\,(8a+50).
Logo \det M\neq0 se, e somente se,
a\neq0 \quad\text{e}\quad 8a+50\neq0 \;\Longleftrightarrow\; a\neq0,\\ a\neq -\tfrac{25}{4}.

Passo 4

Para ponto de máximo local estrito exigimos Hessiana de f (a mesma matriz M) negativa definida.
Os menores principais devem satisfazer
D_1=2a<0,\quad D_2=\det\begin{pmatrix}2a&a\a&-2\end{pmatrix}>0,\quad D_3=\det M<0.
Temos
D_1<0\;\Longrightarrow\;a<0,
D_2=(2a)(-2)-a^2=-a(a+4)>0\;\Longrightarrow\;a\in(-4,0),
D_3=-a(8a+50)<0\;\Longrightarrow\;a(8a+50)>0\;\Longrightarrow\;a<-25/4\text{ ou }a>0.
Não há interseção de todos: (-4,0)\cap\{a<-25/4\text{ ou }a>0\}=\emptyset.
Logo não existe valor real de a que torne M negativa definida, e portanto não há a que gere máximo local estrito.

Passo 5

Resolvendo explicitamente o sistema (quando a\neq0 e a\neq-25/4), obtemos
y(a)=-\frac{6a+8}{4a+25},\qquad z(a)=\frac{a^{2}+4a-3}{4a+25},\qquad x(a)=\frac{3a^{2}-25}{a\,(4a+25)}.

Passo 6

Derivamos cada coordenada em relação a a:
\frac{dy}{da} =-\frac{d}{da}\Bigl(\tfrac{6a+8}{4a+25}\Bigr) =-\frac{(6)(4a+25)-(6a+8)\,4}{(4a+25)^{2}} =-\frac{118}{(4a+25)^{2}},
\frac{dz}{da} =\frac{(2a+4)(4a+25)-(a^{2}+4a-3)\,4}{(4a+25)^{2}} =\frac{4a^{2}+50a+112}{(4a+25)^{2}},
\frac{dx}{da} =\frac{d}{da}\!\Bigl(\tfrac{3a^{2}-25}{a(4a+25)}\Bigr) =\frac{75a^{2}+200a+625}{a^{2}(4a+25)^{2}} =\frac{25\,(3a^{2}+8a+25)}{a^{2}(4a+25)^{2}}.

Resposta

(a) \begin{cases}2a\,x + a\,y +2=0,\a\,x -2\,y -3\,z=0,\\\ -3\,y+8\,z-2a=0.\end{cases}
(b) a\neq0 e a\neq-\tfrac{25}{4}.
(c) Não existe a\in\mathbb{R} que torne o ponto crítico um máximo local estrito.
(d)
x(a)=\frac{3a^{2}-25}{a(4a+25)},\\ y(a)=-\frac{6a+8}{4a+25},\\ z(a)=\frac{a^{2}+4a-3}{4a+25},
\frac{dx}{da}=\frac{25\,(3a^{2}+8a+25)}{a^{2}(4a+25)^{2}},\quad \frac{dy}{da}=-\frac{118}{(4a+25)^{2}},\quad \frac{dz}{da}=\frac{4a^{2}+50a+112}{(4a+25)^{2}}.

Exercícios relacionados