(4,0 pontos) Considere a função f(x, y, z)=a x^{2}+a x y+2 x-y^{2}-3 y z+4 z^{2}-2 a z.
(a) (1,0 ponto) Calcule as condições que determinam os pontos críticos de f(x, y, z).
(b) ( 1,0 ponto) Qual condição deve ser imposta sobre a para que as condições que você encontrou no item (a) definam x, y e z como funções de a ?
(c) (1,0 ponto) Qual condição deve ser imposta sobre a para que as condições que você encontrou no item (a) definam um ponto de máximo local estrito de f(x, y, z) ?
(d) (1,0 ponto) Assumindo as condições encontradas nos itens anteriores, calcule o impacto de uma variação em a sobre x, y e z.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y,z)=a x^{2}+a x y+2 x-y^{2}-3 y z+4 z^{2}-2 a z
com parâmetro a. Pede:
– (a) condições para pontos críticos (gradiente nulo).
– (b) condição sobre a para que essas condições definam (x,y,z) como funções de a (isto é, sistema linear invertível).
– (c) condição sobre a para que seja ponto de máximo local estrito (Hessiana negativa definida).
– (d) supondo as condições anteriores, calcular o impacto de uma variação em a sobre x,y,z (derivadas \dfrac{dx}{da},\dfrac{dy}{da},\dfrac{dz}{da}).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de f e igualamos a zero para obter o sistema de condições de ponto crítico.
\frac{\partial f}{\partial x}=2a\,x + a\,y +2=0,
\frac{\partial f}{\partial y}=a\,x -2\,y -3\,z=0,
\frac{\partial f}{\partial z}=-3\,y +8\,z -2a=0.
Em forma matricial M\,(x,y,z)^{T}=b, com
M=\begin{pmatrix} 2a & a & 0\\\ a & -2 & -3\\\\ 0 & -3 & 8 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 2a\end{pmatrix}
(devido ao sinal, mas a invertibilidade independe do b).
Passo 3
Para que haja solução única (x,y,z) em função de a, precisamos \det M\neq0.
Calculando
\det M =2a\det\begin{pmatrix}-2&-3\\\ -3&8\end{pmatrix}-a\det\begin{pmatrix}a&-3\\\ 0&8\end{pmatrix} =-a\,(8a+50).
D_3=-a(8a+50)<0\;\Longrightarrow\;a(8a+50)>0\;\Longrightarrow\;a<-25/4\text{ ou }a>0.
Não há interseção de todos: (-4,0)\cap\{a<-25/4\text{ ou }a>0\}=\emptyset.
Logo não existe valor real de a que torne M negativa definida, e portanto não háa que gere máximo local estrito.
Passo 5
Resolvendo explicitamente o sistema (quando a\neq0 e a\neq-25/4), obtemos