1. (4,0 pontos) Considere a função f(x, y, z)=a x^{2}+a x y+2 x+y^{2}-3 y z+4 z^{2}-2 a z.
    (a) ( 1,0 ponto) Calcule as condições que determinam os pontos críticos de f(x, y, z).
    (b) ( 1,0 ponto) Qual condição deve ser impost a sobre a para que as condições que você encontrou no item (a) definam x, y e z como funções de a ?
    (c) (1,0 ponto) Qual condição deve ser impost a sobre a para que as condições que você encontrou no item (a) definam um ponto de mínimo local estrito de f(x, y, z) ?
    (d) (1,0 ponto) Assumindo as condições encontradas nos itens anteriores, calcule o impacto de uma variação em a sobre x, y e z.

Passo 1

O enunciado nos dá
f(x,y,z)=a\,x^{2}+a\,x\,y+2\,x+y^{2}-3\,y\,z+4\,z^{2}-2\,a\,z
e pede:
(a) as condições de ponto crítico, isto é, as equações \nabla f=0;
(b) em que a esse sistema define (x,y,z) em função de a;
(c) em que a o ponto crítico é mínimo local estrito;
(d) sob essas condições, o impacto de variação de a em x,y,z, isto é, \dfrac{dx}{da},\dfrac{dy}{da},\dfrac{dz}{da}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais e igualar a zero:
\frac{\partial f}{\partial x}=2a\,x + a\,y +2=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=a\,x + 2\,y -3\,z=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial z}=-3\,y +8\,z -2a=0.

Passo 3

Para que esse sistema determine (x,y,z) de forma única em função de a, a matriz Hessiana
H=\begin{pmatrix} 2a & a & 0\\\ a & 2 & -3\\\\ 0 & -3 & 8 \end{pmatrix}
deve ser invertível, ou seja
\det H =2a\,(7-4a)\neq 0 \;\Longrightarrow\; a\neq 0 \quad\text{e}\quad a\neq \tfrac{7}{4}.

Passo 4

Para que o ponto crítico seja mínimo local estrito, é preciso H positiva definida. Basta checar os menores principais:
D_{1}=2a>0,\quad D_{2}=\det\begin{pmatrix}2a&a\a&2\end{pmatrix}=a(4-a)>0, \quad D_{3}=\det H=2a(7-4a)>0.
Isso leva a
a>0,\quad a<4,\quad 7-4a>0 \;\Longrightarrow\; 0<a<\tfrac{7}{4}.

Passo 5

Sob a\neq0 e a\neq7/4 resolvemos o sistema e achamos
x=\frac{3a^{2}+7}{a\,(4a-7)}, \quad y=-\frac{2\,(3a+4)}{4a-7}, \quad z=\frac{a^{2}-4a-3}{4a-7}.

Passo 6

Diferenciando implicitamente em relação a a, obtemos
\frac{dx}{da} =-\frac{21a^{2}+56a-49}{\,a^{2}\,(4a-7)^{2}\,} =-\frac{7\,(3a^{2}+8a-7)}{a^{2}(4a-7)^{2}},
\frac{dy}{da} =\frac{74}{(4a-7)^{2}}, \qquad \frac{dz}{da} =\frac{4a^{2}-14a+40}{(4a-7)^{2}}.

Resposta

(a) As equações de ponto crítico são
2a\,x + a\,y +2=0, \quad a\,x +2\,y -3\,z=0, \quad -3\,y +8\,z -2a=0.
(b) Para (x,y,z) serem funções de a, basta \det H\neq0, ou seja
a\neq0 \quad\text{e}\quad a\neq\tfrac{7}{4}.
(c) Para mínimo local estrito, H\succ0, o que dá
0<a<\tfrac{7}{4}.
(d) Soluções e sensibilidades:
x=\frac{3a^{2}+7}{a(4a-7)},\quad y=-\frac{2(3a+4)}{4a-7},\quad z=\frac{a^{2}-4a-3}{4a-7},
\frac{dx}{da} =-\frac{7(3a^{2}+8a-7)}{a^{2}(4a-7)^{2}}, \quad \frac{dy}{da} =\frac{74}{(4a-7)^{2}}, \quad \frac{dz}{da} =\frac{4a^{2}-14a+40}{(4a-7)^{2}}.

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