- (3,0 pontos) Considere o problema de maximizar
sujeito a
e
.
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre os candidatos a solução do problema.
(c) (1,0 ponto) Calcule as condições de segunda ordem para identificar os pontos de máximo e de mínimo local estrito.
(a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
(b) ( 1,0 ponto) Encontre os candidatos a solução do problema.
(c) (1,0 ponto) Calcule as condições de segunda ordem para identificar os pontos de máximo e de mínimo local estrito.
Passo 1
O problema é
maximizar
maximizar
sujeito a
O conteúdo é otimização com restrições, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange e depois as condições de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, checamos a qualificação de restrição (LICQ):
Como
(para que
faça sentido e seja igual a 14), temos
e
. Logo
e
são linearmente independentes em qualquer ponto viável, pois um tem componente na coordenada
e o outro não, e ambos têm alguma componente não nula fora da direção um do outro. Portanto a qualificação de restrição está satisfeita.
Passo 3
Formamos a Lagrangiana
As equações
são:
-
-
-
Além das duas equações de restrição.
Da (3) vem
. Mas da restrição
temos
logo
Passo 4
Analisamos a equação (2):
Se
, simplifica para
Se
, a equação (2) dá
e gera caso à parte.
Caso A:
.
Da (1) e (2), eliminando , chega-se a
Da (1) e (2), eliminando
Como
, devemos ter
.
Então dá
, e
.
Pontos candidatos deste caso:
Então
Pontos candidatos deste caso:
com
e
.
Caso B:
.
Da restrição .
Então
Da restrição
Então
sendo o sinal igual ao de
.
Pontos candidatos deste caso:
Pontos candidatos deste caso:
No total há seis candidatos:
Passo 5
Para classificar, note que da restrição
segue que
é constante. Logo maximizar
equivale a maximizar
sujeito a
.
Basta comparar os valores de nos candidatos:
Basta comparar os valores de
- Em
temos . - Em
temos . - Em
temos . - Em
temos .
Ordem crescente de
:
Logo
- Máximo local estrito em
- Mínimo local estrito em
Os demais pontos são pontos-sela (indefinidos na forma quadrática restrita).
Resposta
Máximo local estrito em
mínimo local estrito em