1. (3,0 pontos) Considere o problema de maximizar f(x, y, z)=\left(x^{3}+y^{3}\right)^{1 / 3}+x z sujeito a x^{2}+y^{2}=8 e \ln (x z)=14.
    (a) ( 1,0 ponto) Mostre que a qualificação de restrição é satisfeita.
    (b) ( 1,0 ponto) Encontre os candidatos a solução do problema.
    (c) (1,0 ponto) Calcule as condições de segunda ordem para identificar os pontos de máximo e de mínimo local estrito.

Passo 1

O problema é
maximizar
f(x,y,z)=\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr)^{1/3}+x\,z
sujeito a
g_{1}(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-8=0,\quad g_{2}(x,y,z)=\ln(x\,z)-14=0.
O conteúdo é otimização com restrições, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange e depois as condições de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, checamos a qualificação de restrição (LICQ):
\nabla g_{1}(x,y,z)=(2x,\,2y,\,0),\quad \nabla g_{2}(x,y,z)=\Bigl(\tfrac1x,\,0,\,\tfrac1z\Bigr).
Como x\,z>0 (para que \ln(xz) faça sentido e seja igual a 14), temos x\neq0 e z\neq0. Logo \nabla g_{1} e \nabla g_{2} são linearmente independentes em qualquer ponto viável, pois um tem componente na coordenada y e o outro não, e ambos têm alguma componente não nula fora da direção um do outro. Portanto a qualificação de restrição está satisfeita.

Passo 3

Formamos a Lagrangiana
\mathcal{L}= \bigl(x^{3}+y^{3}\bigr)^{1/3}+x\,z \;-\;\lambda\,(x^{2}+y^{2}-8)\;-\;\mu\,(\ln(xz)-14).
As equações \nabla\mathcal{L}=0 são:
  1. \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=x^{2}(x^{3}+y^{3})^{-2/3}+z =2\lambda\,x+\mu\,\frac1x,
  2. \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=y^{2}(x^{3}+y^{3})^{-2/3} =2\lambda\,y,
  3. \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=x=\mu\,\frac1z.
    Além das duas equações de restrição.
Da (3) vem \mu=x\,z. Mas da restrição g_{2}=0 temos
\ln(xz)=14\quad\Longrightarrow\quad x\,z=e^{14},
logo \mu=e^{14}.

Passo 4

Analisamos a equação (2):
y^{2}(x^{3}+y^{3})^{-2/3}=2\lambda\,y.
Se y\neq0, simplifica para
y\,(x^{3}+y^{3})^{-2/3}=2\lambda.
Se y=0, a equação (2) dá 0=0 e gera caso à parte.
Caso A: y\neq0.
Da (1) e (2), eliminando \lambda, chega-se a
\bigl[x^{2}-x\,y\bigr](x^{3}+y^{3})^{-2/3}=0 \;\Longrightarrow\; x(y - x)=0.
Como x\neq0, devemos ter x=y.
Então x^{2}+y^{2}=8 2x^{2}=8\implies x=\pm2, e y=x.
Pontos candidatos deste caso:
(2,2,z_{1}),\;(-2,-2,z_{2}),
com z_{1}=e^{14}/2 e z_{2}=e^{14}/(-2).
Caso B: y=0.
Da restrição x^{2}=8\implies x=\pm2\sqrt2.
Então
z=\frac{e^{14}}{x}=\pm\frac{e^{14}}{2\sqrt2},
sendo o sinal igual ao de x.
Pontos candidatos deste caso:
\bigl(2\sqrt2,\,0,\,\tfrac{e^{14}}{2\sqrt2}\bigr),\; \bigl(-2\sqrt2,\,0,\,-\tfrac{e^{14}}{2\sqrt2}\bigr).
No total há seis candidatos:
P_{1}=(2,2,\tfrac{e^{14}}2),\; P_{2}=(-2,-2,-\tfrac{e^{14}}2),\; P_{3}=(2\sqrt2,0,\tfrac{e^{14}}{2\sqrt2}),\; P_{4}=(-2\sqrt2,0,-\tfrac{e^{14}}{2\sqrt2}).

Passo 5

Para classificar, note que da restrição xz=e^{14} segue que x\,z é constante. Logo maximizar f=\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr)^{1/3}+x\,z equivale a maximizar
h(x,y)=\bigl(x^{3}+y^{3}\bigr)^{1/3}
sujeito a x^{2}+y^{2}=8.
Basta comparar os valores de x^{3}+y^{3} nos candidatos:
  • Em (2\sqrt2,0) temos x^{3}+y^{3}=(2\sqrt2)^{3}=16\sqrt2.
  • Em (2,2) temos 2^{3}+2^{3}=16.
  • Em (-2,-2) temos -16.
  • Em (-2\sqrt2,0) temos -16\sqrt2.
Ordem crescente de \bigl(x^{3}+y^{3}\bigr)^{1/3}:
(-16\sqrt2)^{1/3} < (-16)^{1/3} < 16^{1/3} < (16\sqrt2)^{1/3}.
Logo
  • Máximo local estrito em \displaystyle \bigl(2\sqrt2,\,0,\,\tfrac{e^{14}}{2\sqrt2}\bigr).
  • Mínimo local estrito em \displaystyle \bigl(-2\sqrt2,\,0,\,-\tfrac{e^{14}}{2\sqrt2}\bigr).
    Os demais pontos são pontos-sela (indefinidos na forma quadrática restrita).

Resposta

Máximo local estrito em
\bigl(x,y,z\bigr)=\Bigl(2\sqrt2,\,0,\,\tfrac{e^{14}}{2\sqrt2}\Bigr),
mínimo local estrito em
\bigl(x,y,z\bigr)=\Bigl(-2\sqrt2,\,0,\,-\tfrac{e^{14}}{2\sqrt2}\Bigr).

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