(2.0 Pontos.) Classifique cada afirmação abaixo como Verdadeiro ou Falso, justificando a sua resposta.
(a) ( \quad ) V=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x+y=1\right\} é um subespaço de \mathbb{R}^{2}
(b) (\quad) W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x-y+2 z=0\right\} é um subespaço de \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado fornece
V = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : x+y=1\}
e
W = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 : x - y + 2z = 0\}
e pede para classificar cada um como subespaço. Lembrando que um subconjunto U de um espaço vetorial é subespaço se, e somente se, satisfaz:
  1. contém o vetor zero,
  2. é fechado sob soma,
  3. é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se V contém o vetor zero (0,0). Em x+y=1 temos
0 + 0 = 0 \neq 1,
logo (0,0)\notin V. Falhando em conter o zero, V não é subespaço.

Passo 3

Verificamos se W contém o vetor zero (0,0,0). Em x - y + 2z = 0 temos
0 - 0 + 2\cdot0 = 0,
logo (0,0,0)\in W.

Passo 4

Mostramos a fechadura de W. Se (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) estão em W, então
x_1 - y_1 + 2z_1 = 0 \quad\text{e}\quad x_2 - y_2 + 2z_2 = 0.
Somando essas igualdades,
(x_1+x_2) - (y_1+y_2) + 2(z_1+z_2) = 0,
então (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\in W. Para escalar \alpha\in\mathbb{R},
\alpha x_1 - \alpha y_1 + 2(\alpha z_1) = \alpha\,(x_1 - y_1 + 2z_1) = \alpha\cdot0 = 0,
logo \alpha(x_1,y_1,z_1)\in W. Assim, W satisfaz todas as condições de subespaço.

Resposta

(a) Falso
(b) Verdadeiro

Exercícios relacionados