Verifique quais das matrizes seguintes são diagonalizáveis:
\left[\begin{array}{cc}a & b \\\\ 3 b & c\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para estudar a diagonalizabilidade da família de matrizes
A = \begin{pmatrix}a & b \\[6pt]3b & c\end{pmatrix},
onde a,b,c\in\mathbb{R}.
O conteúdo que usamos é: uma matriz 2\times2 é diagonalizável sobre \mathbb{R} sempre que ela tiver dois autovalores reais distintos, ou no caso de autovalor duplo, for já proporcional à identidade.]

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A.
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}a-\lambda & b \\[4pt]3b & c-\lambda\end{pmatrix} = (a-\lambda)(c-\lambda) - 3b^2.
Logo o polinômio é
p(\lambda)=\lambda^2 - (a+c)\,\lambda + (ac - 3b^2).]

Passo 3

O discriminante desse polinômio é
\Delta = (a+c)^2 - 4\,(ac-3b^2) = a^2 +2ac +c^2 -4ac +12b^2 = (a-c)^2 + 12b^2.

Passo 4

Note que \Delta=(a-c)^2+12b^2\ge0 para todo a,b,c.
  • Se \Delta>0, então há dois autovalores reais distintos e A é diagonalizável.
  • Se \Delta=0, então (a-c)^2+12b^2=0 implica a=c e b=0, de modo que
A=\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&a\end{pmatrix}=aI
é já uma matriz diagonal (logo diagonalizável).

Resposta

Para todos os a,b,c\in\mathbb{R}, a matriz
\begin{pmatrix}a & b \\[4pt]3b & c\end{pmatrix}
é diagonalizável sobre \mathbb{R}.]

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