Diga se é verdadeiro ou falso cada item abaixo, justificando.
(a) Se
é uma matriz
com somente 1 autovalor, então
não é diagonalizável;
(b) Se
e
são autovetores associados a um autovalor
, então
é também um autovetor associado a
.
(c) Se
não é singular, então 0 não é autovalor de
;
(d) As matrizes
e
possuem os mesmos autovetores;
(a) Se
(b) Se
(c) Se
(d) As matrizes
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, todas envolvendo autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes
. Vamos usar: definição de diagonalizável (precisa de dois autovetores linearmente independentes), relação entre singularidade e autovalor zero, e propriedades de combinações lineares de autovetores.
Passo 2
(a) “Se
é uma matriz
com somente 1 autovalor, então
não é diagonalizável.”
Uma matriz com apenas um autovalor
tem multiplicidade algébrica 2. Se o espaço próprio de
tiver dimensão 2 (caso
), então temos dois autovetores independentes e
é diagonalizável. Portanto existe matriz com um único autovalor que é diagonalizável, logo a afirmação é falsa.
Uma matriz
Passo 3
(b) “Se
e
são autovetores associados a um autovalor
, então
é também um autovetor associado a
.”
Como
Como
essa diferença satisfaz a equação de autovetor. Porém se
for múltiplo de
, então
, que não é autovetor. Como a afirmação não exclui o caso degenerado (resultar no vetor zero), ela está incorreta. Logo, é falsa.
Passo 4
(c) “Se
não é singular, então 0 não é autovalor de
.”
Por definição, é autovalor de
se e somente se existe
com
, isto é,
. Mas
não singular implica
. Portanto
não pode ser autovalor. A afirmação é verdadeira.
Por definição,
Passo 5
(d) “As matrizes
e
possuem os mesmos autovetores.”
Se então
Se
logo todo autovetor de
é autovetor de
. Mas a recíproca pode falhar em
: por exemplo
em que
é múltiplo da identidade e qualquer vetor é seu autovetor, embora
tenha apenas as direções dos eixos principais. Logo eles não têm exatamente os mesmos autovetores. A afirmação é falsa.
Resposta
(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa