Diga se é verdadeiro ou falso cada item abaixo, justificando.
(a) Se A é uma matriz 2 \times 2 com somente 1 autovalor, então A não é diagonalizável;
(b) Se V e W são autovetores associados a um autovalor \lambda, então W-\operatorname{proj}_{V} W é também um autovetor associado a \lambda.
(c) Se A não é singular, então 0 não é autovalor de A;
(d) As matrizes A e A^{2} possuem os mesmos autovetores;

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, todas envolvendo autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes 2\times2. Vamos usar: definição de diagonalizável (precisa de dois autovetores linearmente independentes), relação entre singularidade e autovalor zero, e propriedades de combinações lineares de autovetores.

Passo 2

(a) “Se A é uma matriz 2\times2 com somente 1 autovalor, então A não é diagonalizável.”
Uma matriz 2\times2 com apenas um autovalor \lambda tem multiplicidade algébrica 2. Se o espaço próprio de \lambda tiver dimensão 2 (caso A=\lambda I), então temos dois autovetores independentes e A é diagonalizável. Portanto existe matriz com um único autovalor que é diagonalizável, logo a afirmação é falsa.

Passo 3

(b) “Se V e W são autovetores associados a um autovalor \lambda, então W-\operatorname{proj}_{V}W é também um autovetor associado a \lambda.”
Como
A(W-\operatorname{proj}_{V}W) =AW - A\bigl(\operatorname{proj}_{V}W\bigr) =\lambda W - \operatorname{proj}_{V}(\lambda V) =\lambda\bigl(W-\operatorname{proj}_{V}W\bigr),
essa diferença satisfaz a equação de autovetor. Porém se W for múltiplo de V, então W-\operatorname{proj}_{V}W=0, que não é autovetor. Como a afirmação não exclui o caso degenerado (resultar no vetor zero), ela está incorreta. Logo, é falsa.

Passo 4

(c) “Se A não é singular, então 0 não é autovalor de A.”
Por definição, 0 é autovalor de A se e somente se existe v\neq0 com Av=0, isto é, \ker(A)\neq\{0\}. Mas A não singular implica \ker(A)=\{0\}. Portanto 0 não pode ser autovalor. A afirmação é verdadeira.

Passo 5

(d) “As matrizes A e A^{2} possuem os mesmos autovetores.”
Se Av=\lambda v então
A^2v = A(Av)=A(\lambda v)=\lambda^2 v,
logo todo autovetor de A é autovetor de A^2. Mas a recíproca pode falhar em \mathbb{R}: por exemplo
A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^2=I_2,
em que A^2 é múltiplo da identidade e qualquer vetor é seu autovetor, embora A tenha apenas as direções dos eixos principais. Logo eles não têm exatamente os mesmos autovetores. A afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa

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