(Questão 06) [2,0 pontos] Considere os pontos A=(-1,3,1), B=(-1,4,3), C=(a- 1,3,2 ) no espaço, onde a>0. Sabendo que o triângulo A B C tem área valendo \mathbf{3}, calcule o valor de a.

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A = (-1,3,1),\quad B = (-1,4,3),\quad C = (a-1,3,2),
e pede o valor de a>0 tal que a área do triângulo ABC seja 3.
O conteúdo que vamos usar é cálculo de área de triângulo no espaço por produto vetorial:
\text{área} = \frac12\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\|.á

Passo 2

Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB} = B - A = \bigl(-1 -(-1),\,4-3,\,3-1\bigr) = (0,1,2),
\overrightarrow{AC} = C - A = \bigl((a-1)-(-1),\,3-3,\,2-1\bigr) = (a,0,1).

Passo 3

Determinar o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 0&1&2\\\ a&0&1 \end{pmatrix} = \bigl(1\cdot1-2\cdot0,\;- (0\cdot1-2\cdot a),\;0\cdot0-1\cdot a\bigr) = (1,\,2a,\,-a).

Passo 4

Calcular o módulo do vetor resultante e impor a condição de área 3:
\bigl\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\bigr\| = \sqrt{1^2+(2a)^2+(-a)^2} = \sqrt{1 + 4a^2 + a^2} = \sqrt{1 + 5a^2}.
Como
\text{área} = \frac12\sqrt{1+5a^2} = 3,á
temos
\sqrt{1+5a^2} = 6 \quad\Longrightarrow\quad 1 + 5a^2 = 36 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 7 \quad\Longrightarrow\quad a = \sqrt{7},
já que a>0.

Resposta

\displaystyle \sqrt{7}

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