( 3,0 pontos) (Rolamento): Uma esfera maciça e um cilindro maciço, ambos de raios iguais a
e massas iguais a
, descem por um plano inclinado com altura
, sem deslizar. Sabendo que seus momentos de inércia são, respectivamente,
e
, mostre qual deles chega primeiro ao fim do plano inclinado
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
Dados:
- Dois corpos que descem sem deslizar por um mesmo plano inclinado de altura
: uma esfera maciça e um cilindro maciço. - Ambos têm raio igual a
e massa igual a . - Momentos de inércia fornecidos:
- Esfera:
. - Cilindro:
.
- Esfera:
Pergunta:
- Mostrar qual dos dois chega primeiro ao fim do plano inclinado.
Passo 2
Vamos estabelecer a ideia física e as variáveis que vamos usar (com explicações didáticas):
- Seja
a velocidade de translação do centro de massa do corpo ao chegar ao fim do plano. - Seja
a velocidade angular do corpo em torno do seu eixo. - Rolamento sem deslizar implica a relação cinemática
Explicação: rolamento sem deslizar significa que o ponto de contato com a superfície tem velocidade zero instantânea. Para um corpo que rola, a velocidade linear do centro
e a velocidade angular
estão ligadas por essa fórmula simples: quanto mais rápido gira (
), maior deve ser
para manter a condição de não deslizamento, com a escala dada pelo raio
.
Passo 3
Usaremos conservação de energia mecânica entre o topo (energia potencial) e a base do plano (energias cinéticas translacional + rotacional), porque não há deslize (logo, sem dissipação por atrito que gere perda de energia mecânica).
A energia potencial inicial é . Na base, essa energia virou:
A energia potencial inicial é
- energia cinética de translação:
; - energia cinética de rotação:
.
Portanto a equação de conservação de energia é:
Substituindo
obtemos:
Passo 4
Isolamos
. Factorizando
do lado direito:
Multiplicando ambos os lados por
e dividindo por
, obtemos:
Podemos escrever isso de forma mais prática usando o quociente adimensional
definido por
. Assim:
Interpretação: quanto menor o valor de
(ou seja, quanto menor a fração do momento de inércia em relação a
), maior será a velocidade final
— faz sentido físico, porque menos energia “fica” na rotação e mais vai para a translação.
Passo 5
Calculemos
para cada corpo usando os momentos de inércia dados:
- Para a esfera:
- Para o cilindro:
Agora plugamos em
:
-
Esfera:(Detalhe aritmético:
. Então .) -
Cilindro:(Detalhe aritmético:
. Então .)
Comparemos numericamente os fatores multiplicativos de
:
Portanto
, ou seja
.
Passo 6
Ter mais velocidade final significa que a esfera percorre o plano mais rápido. Para ver isso em termos de aceleração, pode-se usar também a fórmula direta da aceleração de rolamento sem deslizar (derivável da equação do movimento + condição de rolamento):
onde
é o ângulo do plano inclinado. Como ambos têm o mesmo
, o corpo com menor
terá maior aceleração
e chegará primeiro. Aqui
, logo
, reforçando que a esfera chega antes.
Passo 7
Conclusão final: a esfera tem menor razão
, portanto converte mais da energia potencial em velocidade de translação e alcança maior velocidade ao fim do plano; por isso ela chega primeiro que o cilindro.
Resposta
A esfera maciça chega primeiro ao fim do plano inclinado.