( 3,0 pontos) (Rolamento): Uma esfera maciça e um cilindro maciço, ambos de raios iguais a r e massas iguais a m, descem por um plano inclinado com altura h, sem deslizar. Sabendo que seus momentos de inércia são, respectivamente, I_{e}=2 m r^{2} / 5 e I_{c}=m r^{2} / 2, mostre qual deles chega primeiro ao fim do plano inclinado

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
Dados:
  • Dois corpos que descem sem deslizar por um mesmo plano inclinado de altura h: uma esfera maciça e um cilindro maciço.
  • Ambos têm raio igual a r e massa igual a m.
  • Momentos de inércia fornecidos:
    • Esfera: I_{e}=\dfrac{2}{5}m r^{2}.
    • Cilindro: I_{c}=\dfrac{1}{2}m r^{2}.
Pergunta:
  • Mostrar qual dos dois chega primeiro ao fim do plano inclinado.

Passo 2

Vamos estabelecer a ideia física e as variáveis que vamos usar (com explicações didáticas):
  • Seja v a velocidade de translação do centro de massa do corpo ao chegar ao fim do plano.
  • Seja \omega a velocidade angular do corpo em torno do seu eixo.
  • Rolamento sem deslizar implica a relação cinemática
\omega=\frac{v}{r}.
Explicação: rolamento sem deslizar significa que o ponto de contato com a superfície tem velocidade zero instantânea. Para um corpo que rola, a velocidade linear do centro v e a velocidade angular \omega estão ligadas por essa fórmula simples: quanto mais rápido gira ( \omega), maior deve ser v para manter a condição de não deslizamento, com a escala dada pelo raio r.

Passo 3

Usaremos conservação de energia mecânica entre o topo (energia potencial) e a base do plano (energias cinéticas translacional + rotacional), porque não há deslize (logo, sem dissipação por atrito que gere perda de energia mecânica).
A energia potencial inicial é m g h. Na base, essa energia virou:
  • energia cinética de translação: \dfrac{1}{2} m v^{2};
  • energia cinética de rotação: \dfrac{1}{2} I \omega^{2}.
Portanto a equação de conservação de energia é:
m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}.
Substituindo \omega=\dfrac{v}{r} obtemos:
m g h = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I \left(\frac{v}{r}\right)^{2}.

Passo 4

Isolamos v^{2}. Factorizando v^{2} do lado direito:
m g h = \frac{1}{2} v^{2}\left(m + \frac{I}{r^{2}}\right).
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por m + \dfrac{I}{r^{2}}, obtemos:
v^{2} = \frac{2 m g h}{m + \dfrac{I}{r^{2}}}.
Podemos escrever isso de forma mais prática usando o quociente adimensional \beta definido por \beta=\dfrac{I}{m r^{2}}. Assim:
v^{2} = \frac{2 g h}{1 + \beta}.
Interpretação: quanto menor o valor de \beta (ou seja, quanto menor a fração do momento de inércia em relação a m r^{2}), maior será a velocidade final v — faz sentido físico, porque menos energia “fica” na rotação e mais vai para a translação.

Passo 5

Calculemos \beta para cada corpo usando os momentos de inércia dados:
  • Para a esfera: \beta_{e}=\frac{I_{e}}{m r^{2}}=\frac{\tfrac{2}{5} m r^{2}}{m r^{2}}=\frac{2}{5}.
  • Para o cilindro: \beta_{c}=\frac{I_{c}}{m r^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2} m r^{2}}{m r^{2}}=\frac{1}{2}.
Agora plugamos em v^{2}=\dfrac{2 g h}{1+\beta}:
  • Esfera:
    v_{e}^{2}=\frac{2 g h}{1+\tfrac{2}{5}}=\frac{2 g h}{\tfrac{7}{5}}=\frac{10}{7}\,g h.
    (Detalhe aritmético: 1+\tfrac{2}{5}=\tfrac{7}{5}. Então 2/(\tfrac{7}{5})=2\cdot\tfrac{5}{7}=\tfrac{10}{7}.)
  • Cilindro:
    v_{c}^{2}=\frac{2 g h}{1+\tfrac{1}{2}}=\frac{2 g h}{\tfrac{3}{2}}=\frac{4}{3}\,g h.
    (Detalhe aritmético: 1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}. Então 2/(\tfrac{3}{2})=2\cdot\tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{3}.)
Comparemos numericamente os fatores multiplicativos de g h:
\frac{10}{7}\approx 1{,}4286,\qquad \frac{4}{3}\approx 1{,}3333.
Portanto v_{e}^{2}>v_{c}^{2}, ou seja v_{e}>v_{c}.

Passo 6

Ter mais velocidade final significa que a esfera percorre o plano mais rápido. Para ver isso em termos de aceleração, pode-se usar também a fórmula direta da aceleração de rolamento sem deslizar (derivável da equação do movimento + condição de rolamento):
a=\frac{g\sin\theta}{1+\beta},
onde \theta é o ângulo do plano inclinado. Como ambos têm o mesmo \theta, o corpo com menor \beta terá maior aceleração a e chegará primeiro. Aqui \beta_{e}=\tfrac{2}{5}<\beta_{c}=\tfrac{1}{2}, logo a_{e}>a_{c}, reforçando que a esfera chega antes.

Passo 7

Conclusão final: a esfera tem menor razão I/(m r^{2}), portanto converte mais da energia potencial em velocidade de translação e alcança maior velocidade ao fim do plano; por isso ela chega primeiro que o cilindro.

Resposta

A esfera maciça chega primeiro ao fim do plano inclinado.

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