(4,0 pontos) Considere um anel de raio R carregado com carga Q, uniformemente distribuída.
(a) Qual é a densidade linear de carga da barra?
(b) Qual é o potencial elétrico no ponto P ?
(c) Partindo da sua resposta da letra (b), determine o vetor campo elétrico no mesmo ponto.
(d) Se o ponto P estivesse a uma distância muito grande do anel mostre que a sua resposta da letra
(b) se reduz de uma carga puntiforme quando a gg ell.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma barra de comprimento ell carregada com carga total Q uniformemente distribuída. Precisamos calcular a densidade linear, o potencial em um ponto a uma distância a de uma das extremidades, o campo elétrico nesse ponto e verificar o limite aggell.

Passo 2

Como a carga está uniformemente distribuída ao longo da barra, a densidade linear de carga é definida por lambda=Q/ell.

Passo 3

Para achar o potencial elétrico em P, colocamos a barra ao longo do eixo x de x=0 até x=ell e o ponto P em x=-a. Cada elemento de carga é dq=lambda,dx e a contribuição infinitesimal de potencial é dV=14pivarepsilon0dqr=lambda4pivarepsilon0dxa+x. Integrando de 0 a ell dá:
V(a)=lambda4pivarepsilon0integral0^elldxa+x=lambda4pivarepsilon0lnl(a+ellar)
Substituindo lambda=Q/ell obtemos
V(a)=Q4pivarepsilon0,elllnl(a+ellar)

Passo 4

O campo elétrico é dado por E=-nabla V. Como varia só com a coordenada a no eixo x, temos
E(a)=-dVda=-Q4pivarepsilon0,ellddalnl(a+ellar)=Q4pivarepsilon0,elll(1a-1a+ellr)
com direção ao longo de hat x.

Passo 5

Para aggell usamos a expansão ln(1+ell/a)approxell/a, logo
V(a)approxQ4pivarepsilon0,ellella=Q4pivarepsilon0,a
que é exatamente o potencial de uma carga pontual Q a distância a.

Resposta

(a) lambda=Q/ell. (b) V(a)=dfracQ4pivarepsilon0,elllnl(tfraca+ellar). (c) E(a)=dfracQ4pivarepsilon0,elll(tfrac1a-tfrac1a+ellr)hat x. (d) Para aggell, V(a)todfracQ4pivarepsilon0,a, que coincide com o de uma carga pontual.

Exercícios relacionados