4^a Questão: (1,0 pontos) Calcule integralC(sin x, cos y, x z) (d x, d y, d z), onde r(t)=(t^3,-t^2, t), 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial F(x,y,z)=(sin x,cos y,xz) ao longo da curva C dada pela parametrização
r(t)=l(t^3,,-t^2,,tr), 0<= t<=1
O conteúdo é integral de linha de Fcdot dr. Vamos precisar de r'(t) e substituir em
integralCFcdot dr=integral0^1Fl(r(t)r)cdot r'(t),dt

Passo 2

Calculamos as componentes de r e suas derivadas:
x(t)=t^3, y(t)=-t^2, z(t)=t,
x'(t)=3t^2, y'(t)=-2t, z'(t)=1

Passo 3

Substituindo em F(x,y,z)cdot r'(t) obtemos
Fl(r(t)r)cdot r'(t) =sinl(t^3r)cdot3t^2 +cosl(-t^2r)cdot(-2t) +l(t^3cdot tr)cdot1
Como cos(-t^2)=cos(t^2), isso fica
3t^2sin(t^3)-2tcos(t^2)+t^4
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integralCFcdot dr =integral0^1l(3t^2sin(t^3)-2tcos(t^2)+t^4r),dt

Passo 4

Separamos em três integrais e usamos mudança de variável:
  1. integral0^1 3t^2sin(t^3),dt. Com u=t^3 e du=3t^2dt, vai de u(0)=0 a u(1)=1:
integral0^1sin(u),du =-cos(u)|0^1 =1-cos1
  1. integral0^1 -2tcos(t^2),dt. Com v=t^2 e dv=2t,dt, vai de v(0)=0 a v(1)=1:
-integral0^1cos(v),dv =-sin(v)|0^1 =-sin1
  1. integral0^1 t^4,dt =t^55|0^1 =15

Passo 5

Somando os três resultados:
(1-cos1)+(-sin1)+15 =65-cos1-sin1

Resposta

integralC(sin x,cos y,xz)cdot(d x,d y,d z) =65-cos1-sin1

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