Resolva as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem separável
e mostrar a solução geral. A equação é .
Vamos usar o método de separação de variáveis, isolando de um lado e
do outro.
e mostrar a solução geral. A equação é
Vamos usar o método de separação de variáveis, isolando
Passo 2
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
e por
para isolar as variáveis:
Agora cada lado depende de apenas uma variável.
Passo 3
Em equações separáveis, após isolar, integramos cada lado em relação à sua variável:
Do lado esquerdo somamos as integrais de cada termo, e do direito fazemos o mesmo.
Passo 4
Calculando as integrais:
Lado esquerdo:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Não esqueça de incluir a constante de integração
em um dos lados.
Passo 5
Reunindo os resultados obtemos a forma implícita da solução geral:
Essa expressão já descreve todas as curvas solução.
Passo 6
Se for preciso escrever
explicitamente, basta resolver a equação quadrática em
por Bhaskara:
Passo 7
Pronto! A equação diferencial está resolvida na forma implícita (ou explícita, se preferir).
Resposta
A solução geral pode ser dada implicitamente por
ou explicitamente por