(2.5 pontos) Considere o campo vetorial
. Calcular
onde
a fronteira da região delimitada pelos cilindros
e a esfera
, sendo
o vetor normal unitário exterior a
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
do campo vetorial
através da superfície fechada
que é a fronteira da região
descrita por
com
apontando para fora.
Conteúdo: Teorema da divergência (Gauss).
Conteúdo: Teorema da divergência (Gauss).
Passo 2
Pelo Teorema da divergência,
Calculamos
Passo 3
Então
Em coordenadas cilíndricas
, a região
é
Passo 4
O volume é
Fazendo a integral em
:
logo
Passo 5
Para
fazemos
,
, obtendo
Como
e
,
Assim
Passo 6
Finalmente, o fluxo é