(2.5 pontos) Considere o campo vetorial \mathrm{F}=(x, y, z). Calcular
\iint_{S} F \cdot n d s,
onde S a fronteira da região delimitada pelos cilindros x^{2}+y^{2}=1, \quad x^{2}+y^{2}=4 e a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, sendo n o vetor normal unitário exterior a S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}F\cdot n\,ds
do campo vetorial F(x,y,z)=(x,y,z) através da superfície fechada S que é a fronteira da região V descrita por
1\le x^{2}+y^{2}\le 4, \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9,
com n apontando para fora.
Conteúdo: Teorema da divergência (Gauss).

Passo 2

Pelo Teorema da divergência,
\iint_{S}F\cdot n\,ds =\iiint_{V}\nabla\cdot F\,dV.
Calculamos
\nabla\cdot F =\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z} =3.

Passo 3

Então
\iint_{S}F\cdot n\,ds =3\iiint_{V}dV =3\cdot\mathrm{Vol}(V).
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), a região V é
1\le r\le 2, \quad -\sqrt{9-r^{2}}\le z\le \sqrt{9-r^{2}}, \quad 0\le\theta\le2\pi.

Passo 4

O volume é
\mathrm{Vol}(V) =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{r=1}^{2}\!\int_{z=-\sqrt{9-r^{2}}}^{\sqrt{9-r^{2}}}r\,dz\,dr\,d\theta.
Fazendo a integral em z:
\int_{-\sqrt{9-r^{2}}}^{\sqrt{9-r^{2}}}dz =2\sqrt{9-r^{2}},
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\mathrm{Vol}(V) =2\pi\int_{1}^{2}2r\sqrt{9-r^{2}}\,dr =4\pi\int_{1}^{2}r\sqrt{9-r^{2}}\,dr.

Passo 5

Para \displaystyle\int_{1}^{2}r\sqrt{9-r^{2}}\,dr fazemos u=9-r^{2}, du=-2r\,dr, obtendo
\int_{1}^{2}r\sqrt{9-r^{2}}\,dr =\frac12\int_{u=8}^{5}(-\sqrt{u})\,du =\frac12\int_{5}^{8}\sqrt{u}\,du =\frac12\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{3/2}\bigr]_{5}^{8} =\frac{1}{3}\bigl(8^{3/2}-5^{3/2}\bigr).
Como 8^{3/2}=16\sqrt2 e 5^{3/2}=5\sqrt5,
\int_{1}^{2}r\sqrt{9-r^{2}}\,dr =\frac{1}{3}\bigl(16\sqrt2-5\sqrt5\bigr).
Assim
\mathrm{Vol}(V) =4\pi\cdot\frac{1}{3}\bigl(16\sqrt2-5\sqrt5\bigr) =\frac{4\pi}{3}\bigl(16\sqrt2-5\sqrt5\bigr).

Passo 6

Finalmente, o fluxo é
\iint_{S}F\cdot n\,ds =3\cdot\mathrm{Vol}(V) =3\cdot\frac{4\pi}{3}\bigl(16\sqrt2-5\sqrt5\bigr) =4\pi\bigl(16\sqrt2-5\sqrt5\bigr).

Resposta

4\pi\bigl(16\sqrt2-5\sqrt5\bigr).

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