(2.5 pontos) Calcular a seguinte integral
\int_{\gamma}\left(x^{2} y-\cos x+\frac{y^{2}}{2}\right) d x+(x y+\operatorname{sen} y) d y,
onde \gamma é a fronteira da região do plano limitada pelas curvas y=x^{2}+x e y=-x^{2}+x+2 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede calcular o integral de linha fechado
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy
onde
P(x,y)=x^{2}y-\cos x+\frac{y^{2}}{2}, \qquad Q(x,y)=xy+\sin y,
e \gamma é a fronteira da região D limitada pelas curvas
y_{1}(x)=x^{2}+x, \qquad y_{2}(x)=-x^{2}+x+2,
orientada no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que diz
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(xy+\sin y) =y, \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(x^2y-\cos x+\frac{y^2}{2}\Bigr) =x^2+y.
Logo o integrando de Green é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =y-(x^2+y) =-x^2.

Passo 3

A região D é
D=\{(x,y)\mid -1\le x\le1,\;x^2+x\le y\le -x^2+x+2\},
pois a interseção de y_1 e y_2 resolve
x^2+x=-x^2+x+2 \;\Longrightarrow\; 2x^2=2 \;\Longrightarrow\; x=\pm1.

Passo 4

Pela fórmula de Green,
\oint_{\gamma}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}(-x^2)\,dA =-\int_{x=-1}^{1}\int_{y=x^2+x}^{-x^2+x+2}x^2\,dy\,dx.
Integramos em y:
-\int_{-1}^{1} x^2\bigl[(-x^2+x+2)-(x^2+x)\bigr]\,dx =-\int_{-1}^{1}x^2(-2x^2+2)\,dx =\int_{-1}^{1}(2x^4-2x^2)\,dx.

Passo 5

Calculamos separadamente:
\int_{-1}^{1}2x^4\,dx =2\cdot\frac{2}{5} =\frac{4}{5}, \qquad \int_{-1}^{1}2x^2\,dx =2\cdot\frac{2}{3} =\frac{4}{3}.
Logo
\int_{-1}^{1}(2x^4-2x^2)\,dx =\frac{4}{5}-\frac{4}{3} =-\frac{8}{15}.

Resposta

-\frac{8}{15}.

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