(2.5 pontos) Seja S a superfície obtida girando-se a curva z=\operatorname{sen} x, 0 \leq x \leq \pi em torno do eixo z. Calcule
\iint_{S} \frac{1}{\sqrt{2-z^{2}}} \mathrm{ds} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}\frac{1}{\sqrt{2-z^{2}}}\,ds
onde S é a superfície de revolução obtida girando a curva
z=\operatorname{sen} x,\quad 0\le x\le\pi
em torno do eixo z. O conteúdo é cálculo de integrais sobre superfície de revolução: precisamos parametrizar S, calcular o elemento de área ds e então avaliar a integral.

Passo 2

Parametrizamos S por
\vec\Phi(x,\theta)=\bigl(x\cos\theta,\;x\sin\theta,\;\operatorname{sen} x\bigr),
com x\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi]. Calculamos as derivadas parciais:
\vec\Phi_x=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;\cos x), \qquad \vec\Phi_\theta=(-x\sin\theta,\;x\cos\theta,\;0).
O produto misto dá
E=\|\vec\Phi_x\|^2=1+\cos^2x, \quad F=\vec\Phi_x\cdot\vec\Phi_\theta=0, \quad G=\|\vec\Phi_\theta\|^2=x^2.
Então
ds=\sqrt{EG-F^2}\;dx\,d\theta =\sqrt{(1+\cos^2x)\,x^2}\;dx\,d\theta =x\sqrt{1+\cos^2x}\;dx\,d\theta.

Passo 3

Na integral aparece o fator
\frac{1}{\sqrt{2-z^2}} =\frac{1}{\sqrt{2-\operatorname{sen}^2x}} =\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2x}}.
Logo o integrando vezes ds é
\frac{1}{\sqrt{1+\cos^2x}}\;\bigl(x\sqrt{1+\cos^2x}\bigr) =x.

Passo 4

A integral sobre S reduz-se a
\iint_{S}\frac{1}{\sqrt{2-z^2}}\,ds =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}x\;dx\,d\theta =\Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{\pi}x\,dx\Bigr).
Calculamos separadamente:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi}x\,dx=\frac{\pi^2}{2}.
Multiplicando,
2\pi\;\frac{\pi^2}{2}=\pi^3.

Resposta

\displaystyle \pi^3

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