Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
e
.
Passo 1
O enunciado dá as curvas e retas:
,
,
e
.
Pede que eu esboce (desenhe e pinte) a região limitada por essas quatro curvas/retas e calcule a área dessa região usando integral.
Informações úteis extraídas do enunciado: para temos
; para
temos
. A reta
é o eixo
.
Pede que eu esboce (desenhe e pinte) a região limitada por essas quatro curvas/retas e calcule a área dessa região usando integral.
Informações úteis extraídas do enunciado: para
Passo 2
Esboço e identificação da região (como desenhar no papel):
- Desenhe os eixos
e . - Desenhe a parábola
. Como orientador, marque os pontos que já calculei: em a parábola está em ; em a parábola está em . A parábola abre para cima e fica sempre acima de . - Marque a reta horizontal
(eixo ). - Marque as linhas verticais
(eixo ) e .
A região pedida é o “fatia” vertical entree , limitada abaixo por e acima por . Pinte essa área: para cada entre e a região vai do até .
Passo 3
Escolha do método de integração (por que integrar em
):
A região está naturalmente descrita por um intervalo de (de
a
) e para cada
o
varia entre duas funções (a inferior
e a superior
). Nesses casos é mais simples usar fatias verticais e integrar em
. A fórmula que usamos é a padrão: a área de uma região entre duas curvas verticalmente é a integral do “topo menos fundo” em
.
A região está naturalmente descrita por um intervalo de
Passo 4
Conceito prático por trás da integral (mini-aula):
Imagine dividir o intervalo em muitas fatias finas de largura
. Em cada fatia, aproximamos a parte da região por um retângulo de altura (topo menos fundo)
. Somando as áreas desses retângulos obtemos uma soma do tipo
. Ao fazer
essa soma converge para a integral definida. Por isso a área será
Imagine dividir o intervalo
Aqui
é a coordenada horizontal, a integração soma as áreas das fatias verticais;
e
.
Passo 5
Escrever a integral explícita:
Passo 6
Calcular a integral passo a passo (antiderivada e avaliação):
- A antiderivada de
em relação a é , porque . - A antiderivada de
é , porque .
Portanto uma primitiva (antiderivada) deé . Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 7
Conclusão e interpretação final (dica para prova):
A área da região pedida é unidades de área. No rascunho da prova faça o esboço rápido (marque
e
), destaque a faixa entre
e
e escreva a integral
seguida da avaliação para justificar o número. Você escolheu fatias verticais porque a região é dada por
como função de
; é a forma mais direta e rápida em prova.
A área da região pedida é