Esboce, pinte a região limitada pelas curvas dadas e calcule a área da mesma usando integral.
y=3 x^{2}+1, y=0, x=0 e x=2.

Passo 1

O enunciado dá as curvas e retas: y=3x^{2}+1, y=0, x=0 e x=2.
Pede que eu esboce (desenhe e pinte) a região limitada por essas quatro curvas/retas e calcule a área dessa região usando integral.
Informações úteis extraídas do enunciado: para x=0 temos y=3\cdot0^{2}+1=1; para x=2 temos y=3\cdot2^{2}+1=12+1=13. A reta y=0 é o eixo x.

Passo 2

Esboço e identificação da região (como desenhar no papel):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Desenhe a parábola y=3x^{2}+1. Como orientador, marque os pontos que já calculei: em x=0 a parábola está em y=1; em x=2 a parábola está em y=13. A parábola abre para cima e fica sempre acima de y=1.
  • Marque a reta horizontal y=0 (eixo x).
  • Marque as linhas verticais x=0 (eixo y) e x=2.
    A região pedida é o “fatia” vertical entre x=0 e x=2, limitada abaixo por y=0 e acima por y=3x^{2}+1. Pinte essa área: para cada x entre 0 e 2 a região vai do y=0 até y=3x^{2}+1.

Passo 3

Escolha do método de integração (por que integrar em x):
A região está naturalmente descrita por um intervalo de x (de 0 a 2) e para cada x o y varia entre duas funções (a inferior y=0 e a superior y=3x^{2}+1). Nesses casos é mais simples usar fatias verticais e integrar em x. A fórmula que usamos é a padrão: a área de uma região entre duas curvas verticalmente é a integral do “topo menos fundo” em x.

Passo 4

Conceito prático por trás da integral (mini-aula):
Imagine dividir o intervalo [0,2] em muitas fatias finas de largura \Delta x. Em cada fatia, aproximamos a parte da região por um retângulo de altura (topo menos fundo) (3x^{2}+1)-0. Somando as áreas desses retângulos obtemos uma soma do tipo \sum (3x^{2}+1)\Delta x. Ao fazer \Delta x\to 0 essa soma converge para a integral definida. Por isso a área será
\text{Área}=\int_{0}^{2}\bigl(\text{topo}(x)-\text{fundo}(x)\bigr)\,dx=\int_{0}^{2}\bigl(3x^{2}+1-0\bigr)\,dx.Á
Aqui x é a coordenada horizontal, a integração soma as áreas das fatias verticais; \text{topo}(x)=3x^{2}+1 e \text{fundo}(x)=0.

Passo 5

Escrever a integral explícita:
\text{Área}=\int_{0}^{2}\bigl(3x^{2}+1\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Calcular a integral passo a passo (antiderivada e avaliação):
  • A antiderivada de 3x^{2} em relação a x é x^{3}, porque \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.
  • A antiderivada de 1 é x, porque \dfrac{d}{dx}(x)=1.
    Portanto uma primitiva (antiderivada) de 3x^{2}+1 é F(x)=x^{3}+x. Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo:
\text{Área}=F(2)-F(0)=(2^{3}+2)-(0^{3}+0)= (8+2)-0=10.Á

Passo 7

Conclusão e interpretação final (dica para prova):
A área da região pedida é 10 unidades de área. No rascunho da prova faça o esboço rápido (marque y(0)=1 e y(2)=13), destaque a faixa entre x=0 e x=2 e escreva a integral \int_{0}^{2}(3x^{2}+1)\,dx seguida da avaliação para justificar o número. Você escolheu fatias verticais porque a região é dada por y como função de x; é a forma mais direta e rápida em prova.

Resposta

10

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